운서동 고3수학과외

끝점 하나가 교점의 개수를 바꾼 순간

운서동 생활권에서 모의고사 3점 문항을 재풀이하던 학생은 그래프를 보고도 결론이 흔들리는 장면을 보였다. 문제는 함수 \(y=|x-2|\)와 직선 \(y=a\)가 구간 \(0\le x\le3\)에서 만나는 점의 개수를 묻는 것이었다. 학생은 먼저 꼭짓점의 높이가 0이라는 점과 절댓값 그래프가 좌우로 뻗는다는 사실을 표시했다. \(a>0\)이면 방정식에서 \(x=2-a,\;2+a\)가 나오므로 교점은 항상 두 개라고 적었다.

계산 자체는 틀리지 않았지만, 첫 판단에서 구간 조건을 식 옆에 옮기지 않은 것이 문제였다. 자유로운 전체 그래프에서는 두 해가 모두 가능하지만, \(x=2+a\)가 구간을 벗어날 수 있었다. 특히 \(a=1\)이면 오른쪽 해가 \(x=3\)이 되어 간신히 포함되고, \(a>1\)이면 오른쪽 해가 \(3\)보다 커진다. 학생은 일반적인 모양만 보고 경계값에서도 같은 규칙을 적용한 셈이었다.

두 해가 실제 구간에 남아 있는가

풀이를 지우기보다, 각 해 옆에 정의역을 직접 대입해 보게 했다.

• \(x=2-a\)는 \(0\le2-a\le3\)이므로 \(0\le a\le2\)에서 가능하다.
• \(x=2+a\)는 \(0\le2+a\le3\)이므로 \(0\le a\le1\)에서만 가능하다.

따라서 \(a=0\)일 때는 꼭짓점 하나, \(02\)이면 구간 안의 함수값 범위를 넘는다. 학생은 그래프에 표시된 꼭짓점과 끝점 \(x=0,3\)을 다시 확인하면서, 교점 수를 바꾸는 조건과 단순히 계산에 사용되지 않는 정보를 구분했다. 문제의 보기 번호나 풀이 옆 장식 표시는 사용하지 않은 정보로 따로 묶었다.

“두 해를 구한 뒤 끝내는 것이 아니라, 각 해가 주어진 구간에 들어오는지 확인해야 한다.”

이 한 문장을 풀이 첫 줄 아래에 적고, 일반 구간과 예외가 생기는 끝점을 나누어 세 줄로 압축했다. 인천고3수학과외에서 모의고사 3점 문항을 다룰 때도 이런 식으로 조건을 식 옆에 남겨 두면, 그래프의 인상만으로 결론을 내리는 습관을 줄일 수 있다.

질문의 방향을 바꾼 독립 적용

같은 숫자를 반복하지 않기 위해 새 문제에서는 \(y=|x-1|\)과 \(y=a\)가 구간 \(-1\le x\le2\)에서 만나는 점이 정확히 하나가 되는 \(a\)의 범위를 찾게 했다. 이번에는 교점의 개수를 바로 세지 말고, 먼저

\[ x=1-a,\qquad x=1+a \]

를 얻은 뒤 각각의 정의역 조건을 적도록 했다. 왼쪽 해는 \(a\le2\), 오른쪽 해는 \(a\le1\)일 때만 구간 안에 있다. \(a=0\)에서는 두 식이 같은 \(x=1\)을 가리키므로 교점 하나이고, \(1

학생은 이번에는 곧바로 “\(a=1\)은 오른쪽 끝점 \(x=2\)를 포함하므로 두 개”라고 설명했다. 단순히 이전 답을 외운 것이 아니라, 바뀐 함수와 구간에서 끝점 조건을 다시 세운 것이다. \(a=2\)일 때 왼쪽 해가 \(x=-1\)로 포함되는지도 원식에 대입해 확인했다.

힌트 없이 남은 판단

다음 날 유형명이 가려진 문제에서 학생은 그래프를 먼저 그린 뒤, 꼭짓점의 높이와 양쪽 끝점에서의 함수값을 따로 적었다. 이어 두 교점 후보를 만든 다음 정의역 부등식을 각각 붙였다. 마지막으로 계산한 좌표를 원래 절댓값 식에 넣어 그래프의 위치와 맞는지 대조했다.

처음처럼 “절댓값이므로 두 교점”이라고 결론내리지 않고, 어느 해가 경계에서 사라지는지부터 찾은 것이다. 풀이 종료 후에는 실제로 사용한 조건에만 동그라미를 치고, 오류가 시작된 첫 줄이 정의역을 생략한 부분이었다고 스스로 표시했다. 경계 검증이 정답 확인 단계가 아니라 교점 개수를 결정하는 첫 판단으로 자리 잡았는지 확인된 장면이었다.