운북동 고2수학과외







구간합 식의 오답을 되짚어 보기
최종 검증에서 다음 보기 중 옳은 식을 고르는 순간, 최초 오류가 드러났다.
- ① \( \displaystyle \sum_{k=p}^{q} k^2=(q-p+1)q^2 \)
- ② \( \displaystyle \sum_{k=p}^{q} k^2=\frac{q(q+1)(2q+1)}6-\frac{(p-1)p(2p-1)}6 \)
- ③ \( \displaystyle \sum_{k=p}^{q} k^2=\frac{q(q+1)(2q+1)-(p-1)p(2p-1)}6 \)
정답은 ②이다. ③은 두 번째 항의 분자에서 \(6\)으로 나누는 구조가 정확히 반영되지 않아 일반적으로 올바른 식이 아니다.
처음 오류가 생긴 장면
처음 풀이에서는 \(p\)부터 \(q\)까지의 항 개수가 \(q-p+1\)이라는 사실만 이용해, 구간의 모든 제곱을 같은 값처럼 처리했다. 그러나 \(p^2,(p+1)^2,\ldots,q^2\)는 서로 다른 값이므로 항의 개수만 곱할 수 없다.
예를 들어 \(p=3,\ q=5\)이면 실제 합은
\[ 3^2+4^2+5^2=9+16+25=50 \]
이다. 단순히 항 개수 \(5-3+1=3\)만 사용하면 이 변화를 반영하지 못한다.
표준합 두 개의 차
제곱의 구간합은 \(1\)부터 \(q\)까지의 합에서 \(1\)부터 \(p-1\)까지의 합을 빼서 구한다.
\[ \sum_{k=p}^{q}k^2 =\sum_{k=1}^{q}k^2-\sum_{k=1}^{p-1}k^2 \]
자연수 제곱의 합 공식
\[ \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6 \]
을 각각 적용하면
\[ \sum_{k=p}^{q} k^2 = \frac{q(q+1)(2q+1)}6 - \frac{(p-1)p(2p-1)}6 \]
값을 대입한 최종 확인
\(p=3,\ q=5\)를 대입하면
\[ \frac{5\cdot6\cdot11}{6} - \frac{2\cdot3\cdot5}{6} =55-5=50 \]
직접 계산한 \(3^2+4^2+5^2=50\)과 일치한다. 따라서 구간이 \(1\)부터 시작하지 않을 때는 항의 개수만 곱하지 않고, 전체 부분합의 차를 사용해야 한다.
이처럼 식의 출발점과 끝점을 분리해 확인하는 연습은 운북동과외에서 구간합 문제의 오류를 줄이는 데 도움이 된다.