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운북동 고2수학과외

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구간합 식의 오답을 되짚어 보기

최종 검증에서 다음 보기 중 옳은 식을 고르는 순간, 최초 오류가 드러났다.

  • ① \( \displaystyle \sum_{k=p}^{q} k^2=(q-p+1)q^2 \)
  • ② \( \displaystyle \sum_{k=p}^{q} k^2=\frac{q(q+1)(2q+1)}6-\frac{(p-1)p(2p-1)}6 \)
  • ③ \( \displaystyle \sum_{k=p}^{q} k^2=\frac{q(q+1)(2q+1)-(p-1)p(2p-1)}6 \)

정답은 ②이다. ③은 두 번째 항의 분자에서 \(6\)으로 나누는 구조가 정확히 반영되지 않아 일반적으로 올바른 식이 아니다.

처음 오류가 생긴 장면

처음 풀이에서는 \(p\)부터 \(q\)까지의 항 개수가 \(q-p+1\)이라는 사실만 이용해, 구간의 모든 제곱을 같은 값처럼 처리했다. 그러나 \(p^2,(p+1)^2,\ldots,q^2\)는 서로 다른 값이므로 항의 개수만 곱할 수 없다.

예를 들어 \(p=3,\ q=5\)이면 실제 합은

\[ 3^2+4^2+5^2=9+16+25=50 \]

이다. 단순히 항 개수 \(5-3+1=3\)만 사용하면 이 변화를 반영하지 못한다.

표준합 두 개의 차

제곱의 구간합은 \(1\)부터 \(q\)까지의 합에서 \(1\)부터 \(p-1\)까지의 합을 빼서 구한다.

\[ \sum_{k=p}^{q}k^2 =\sum_{k=1}^{q}k^2-\sum_{k=1}^{p-1}k^2 \]

자연수 제곱의 합 공식

\[ \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6 \]

을 각각 적용하면

\[ \sum_{k=p}^{q} k^2 = \frac{q(q+1)(2q+1)}6 - \frac{(p-1)p(2p-1)}6 \]

값을 대입한 최종 확인

\(p=3,\ q=5\)를 대입하면

\[ \frac{5\cdot6\cdot11}{6} - \frac{2\cdot3\cdot5}{6} =55-5=50 \]

직접 계산한 \(3^2+4^2+5^2=50\)과 일치한다. 따라서 구간이 \(1\)부터 시작하지 않을 때는 항의 개수만 곱하지 않고, 전체 부분합의 차를 사용해야 한다.

이처럼 식의 출발점과 끝점을 분리해 확인하는 연습은 운북동과외에서 구간합 문제의 오류를 줄이는 데 도움이 된다.

운북동 고2수학과외 학부모 후기

새 문제집을 넘기다가 긴 조건을 그냥 읽고 지나가지 않고, 필요한 내용만 골라 식 옆에 짧게 적어 둔 걸 봤어요. 처음 판단한 부분과 다시 확인한 부분이 함께 남아 있어서 어디를 보고 풀었는지도 드러나더라고요. 운북동 수학과외를 찾아보던 때부터 문제집을 펼쳐 둔 모습은 종종 봤지만, 예전에는 복습할 때 확인할 대상을 이렇게 잘게 나눠 적지는 않았거든요. 해설지를 정리하던 날에도 비슷한 메모가 눈에 띄었습니다. 따로 묻지 않았는데 긴 문제 조건을 자기 말로 짧게 바꿔 써 놓았고, 실제로 필요한 조건만 식 옆에 남겨 두었어요. 긴 문장 전체를 다시 읽는 대신, 적어 둔 짧은 표현과 식을 번갈아 살피고 있었습니다.

★★★★☆학부모 후기

수학 수행평가를 준비하던 밤, 아이 문제집을 보다가 어려운 문제 옆에 별표가 아니라 계산 줄 번호가 적혀 있는 걸 발견했어요. 어디가 막혔는지 표시해 둔 모양이더라고요. 예전에는 답이 맞는지만 확인하고 넘어가서, 어떤 부분을 다시 봐야 하는지는 따로 남기지 않았거든요. 운북동 수학과외 이야기를 나누며 학습 자료를 챙기던 중에도 그 표시가 눈에 띄었어요. 다른 유형의 독해 문제를 풀 때도 막연하게 어렵다고 표시하지 않고, 다시 확인할 계산 줄을 골라 번호로 남겨 두더라고요. 문제 전체가 아니라 다시 볼 곳을 좁혀 둔 점이 전과 달랐습니다.

★★★★★학부모 후기

운북동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 자기 풀이를 설명하는 일을 어려워했고, 계산이 조금만 복잡해져도 쉽게 포기하곤 했습니다. 선생님은 진도를 잠시 멈추고 기초 문제와 복습으로 돌아가, 틀린 이유를 함께 짚은 뒤 아이가 스스로 이어서 풀 시간을 충분히 주셨습니다. 숙제를 미루는 날에도 다그치기보다 다음 날 다시 시작하도록 도와주셔서, 요즘은 풀이 과정을 말하고 복습을 이어가는 모습이 조금씩 보입니다.

★★★★★학부모 후기

주말 오전 숙제를 시작할 때면 아이가 한참 머뭇거리곤 했는데, 운북동에서 수학과외를 시작한 뒤 선생님이 그날 집중 상태를 살피며 수업 속도를 조절해 주셨습니다. 실수한 풀이를 숨기려던 아이에게 같은 내용을 다른 말로 차분히 설명해 주고 무리하게 진도를 나가지 않으니, 시험 일주일 전에도 복습과 숙제를 예전보다 편하게 시작하는 모습이 눈에 띄었습니다.

★★★★★학부모 후기

운북동에서 수학 과외를 받으며 시험이 다가오면 숙제를 뒤로 미루던 습관이 조금씩 달라졌습니다. 주말에 늦잠을 잔 날에도 선생님과 수업 시간을 조정한 뒤, 막힌 문제를 따로 표시하고 숙제부터 시작하게 됐어요. 선생님은 결과만 보지 않고 수업 중 태도와 이해 정도를 부모님께 전해 주셔서 무리하지 않고 차근차근 복습할 수 있었습니다.

★★★★☆학부모 후기