운북동 중3수학과외

운북동 생활권 중3수학과외에서 살펴본 삼각비 풀이의 기준

운북동과외 수업에서 삼각비 문제의 오답노트를 다시 펼쳐 보았습니다. 이번에는 다른 단원으로 넓히지 않고, 기준각에 따라 직각삼각형의 두 변을 정하고 삼각비로 미지의 변을 구하는 과정만 확인했습니다.

오답노트에 남은 두 풀이

첫 번째 문제에는 직각삼각형 ABC가 있었습니다. ∠C=90°, ∠A=35°, BC=6cm이고 AB의 길이를 구하는 문제였습니다. 학생은 그림을 보자마자 다음처럼 적었습니다.

sin 35° = 6 ÷ AB
AB = 6sin 35°

두 번째 문제는 그림을 돌려 놓은 형태였습니다. ∠Q=90°, ∠P=42°, PR=10cm이고 QR을 구하도록 제시되어 있었습니다. 학생은 이번에는

cos 42° = QR ÷ 10
QR = 10cos 42°

라고 썼습니다. 두 식을 나란히 놓고 보니 숫자를 잘못 계산한 것이 먼저가 아니었습니다. 첫 식에서는 35°를 기준으로 마주 보는 변과 빗변을 골랐지만, 두 번째 식에서는 QR이 기준각 P에서 마주 보는 변인지 확인하지 않은 채 cos을 선택했습니다. QR은 P에서 마주 보는 변이고, PR은 P에 붙어 있는 직각변이므로 두 번째 관계는 sin이 되어야 합니다.

식보다 먼저 표시한 것

풀이 기록을 지우고 두 그림에 같은 표시를 다시 했습니다. 먼저 주어진 각에 작은 호를 그리고, 그 각과 마주 보는 변에는 ‘대변’, 직각 맞은편의 가장 긴 변에는 ‘빗변’이라고 적었습니다. ∠P를 기준으로 보면 QR은 대변, PR은 빗변이므로

sin 42° = QR ÷ 10

입니다. 따라서 QR=10sin42°로 고칩니다. 첫 번째 문제도 ∠A를 기준으로 AB가 빗변, BC가 대변임을 표시하면 sin35°=6÷AB가 됩니다. 여기서 AB를 구할 때는 양변에 AB를 곱한 뒤 sin35°로 나누어

AB = 6 ÷ sin35°

로 정리해야 합니다. 처음의 식에서 이미 맞았던 ‘대변과 빗변을 비교한다’는 부분은 유지하고, 기준각을 표시한 다음 두 변의 역할을 정하는 행동 하나만 바로잡았습니다. 각도나 그림의 방향이 바뀌어도 같은 관계를 찾을 수 있게 하는 교정입니다.

그림을 표로 바꾸어 확인한 변형

이후에는 그림 대신 조건을 표처럼 제시했습니다. 직각삼각형 XYZ에서 ∠Y=90°, ∠Z=28°, XY=7cm이고 XZ를 구한다고 하겠습니다. 이번에는 기준각 Z에서 보이는 변의 역할을 말로 먼저 적었습니다.

• 직각의 맞은편 XZ: 빗변
• ∠Z의 맞은편 XY: 대변
• 구하는 XZ: 빗변

그러므로 대변과 빗변의 관계인 sin을 사용하여

sin 28° = 7 ÷ XZ

로 세웁니다. XZ=7÷sin28°이며, 기준각에 대한 대변과 빗변을 바꾸지 않았다는 점이 핵심입니다. 앞의 문제와 달리 직각이 아래쪽에 표시되지 않았고, 구하는 변도 그림에서 바로 눈에 띄지 않았지만 기준각 Z에서 출발하니 필요한 비가 달라지지 않았습니다.

힌트 없이 다시 세운 식

마지막 확인에서는 새로운 문제를 보여 주고 어떤 삼각비를 쓸지 말해 보도록 했습니다. 직각삼각형 MNO에서 ∠N=90°, ∠M=53°, MN=12cm일 때 NO를 구하는 문제였습니다. 학생은 별도의 표시를 기다리지 않고 ∠M에 호를 그은 뒤, NO는 기준각 M의 맞은편이고 MN은 직각변이라고 설명했습니다. 직각의 맞은편인 MO가 빗변이므로 NO와 MN을 직접 비교하는 관계는 탄젠트가 아니라 사인이나 빗변을 포함하는 관계가 아님을 확인하고, 이 경우에는

tan 53° = NO ÷ MN

을 사용했습니다. 따라서 NO=12tan53°라고 정리했습니다. 이어 계산한 길이를 원래 조건에 대입해 NO/MN이 tan53°와 같은지 확인하고, NO가 MN보다 커야 한다는 그림의 관계와도 맞는지 설명했습니다.

이처럼 운북동중3수학과외에서는 삼각비 이름을 먼저 외워 적용하기보다, 새 표현에서도 기준각을 표시하고 필요한 두 변의 역할을 확인한 뒤 비를 선택하는지를 검증합니다.