인천불로동 고3수학과외
조건을 먼저 골라내는 기출 오답 재구성
가좌마을1·2단지와 가좌마을5·6단지가 이어진 생활권에서 진행한 오답 재구성 시간, 학생은 매개변수가 포함된 함수 문제를 다시 펼쳤다. 정답은 맞혔지만 풀이가 길었고, 중간에 어떤 후보를 왜 제외했는지가 기록되어 있지 않았다. 인천불로동과외 수업에서는 계산 속도보다 첫 줄에서 조건을 선별하는 행동을 먼저 확인하기로 했다.
계산보다 앞서 확인해야 할 한 줄
변형 문제는 다음과 같았다.
방정식 x²-2(a+1)x+a²-1=0이 서로 다른 두 양의 정근을 가질 때, 실수 a의 범위를 구하여라.
학생은 곧바로 판별식부터 계산했다. 판별식은
D=4(a+1)²-4(a²-1)=8(a+1)
이므로 서로 다른 두 실근을 위해 a>-1을 얻었다. 이어 근의 합과 곱을 사용해 양의 근 조건을 확인하려 했지만, 처음 식 옆에는 ‘서로 다른 두 양의 정근’ 중 판별식 조건만 적혀 있었다. 양의 근이라는 제한을 식에 반영하지 않은 채 가능한 a를 넓혀 버린 것이 최초의 어긋남이었다.
실제로 두 근이 모두 양수이려면 근의 합 2(a+1)이 양수이고 근의 곱 a²-1도 양수여야 한다. 판별식 조건과 합 조건은 각각 a>-1이고, 곱 조건은 a<-1 또는 a>1이다. 세 조건을 함께 만족시키면 결론은 a>1이다. 학생의 풀이가 길어진 까닭은 계산을 못해서가 아니라, 문제의 제한을 첫 식에 붙이지 않았기 때문이었다.
후보를 만든 뒤 버린 이유까지 남기기
교정은 복잡하지 않게 한 가지로 제한했다. 문제에서 실제로 제한하는 말을 첫 줄에 괄호로 옮겨 적는 것이다.
- 서로 다른 두 실근 → D>0
- 두 근이 양수 → 근의 합>0, 근의 곱>0
그다음 a의 범위를 표에 나누어 적었다. a<-1에서는 곱은 양수지만 근의 합이 음수이므로 제외하고, -1<a≤1에서는 곱이 양수가 아니므로 제외했다. 남은 a>1만 답으로 표시했다. 후보를 버릴 때 ‘계산 결과가 안 맞음’이라고 쓰지 않고 ‘두 근의 합이 음수’, ‘근의 곱이 0 이하’처럼 제거 근거를 남긴 점이 핵심이었다.
다음 날에는 같은 문제의 숫자만 바꾸지 않고 표현을 바꾸었다. 보기 없는 직접답형으로 제시하고, 조건의 순서도 뒤집었다.
실수 t에 대하여 방정식 x²-2(t-2)x+t²-4=0이 양의 서로 다른 두 근을 갖도록 하는 t의 범위를 구하여라.
학생은 유형명을 보지 않은 상태에서 먼저 ‘양의 서로 다른 두 근’에 밑줄을 그었다. 판별식은 16-8t>0이므로 t<2, 근의 합은 2(t-2)>0이므로 t>2이다. 두 조건을 동시에 만족할 수 없으므로 해당하는 t는 없다. 이때 곱 조건까지 무작정 계산하지 않고, 이미 판별식과 합 조건이 충돌한다는 것을 확인한 뒤 멈췄다. 조건을 먼저 배열하니 불필요한 후보 계산도 줄었다.
힌트 없는 새 문항에서 확인한 판단
최종 확인에서는 매개변수 대신 정수 조건을 넣은 문제를 사용했다. 학생에게 다음 조건만 주고 풀이 순서를 스스로 정하게 했다.
방정식 x²-2(k+1)x+k²-9=0이 서로 다른 두 양의 정근을 갖도록 하는 정수 k를 구하여라.
학생은 첫 줄에 ‘판별식>0, 근의 합>0, 근의 곱>0, k는 정수’라고 적었다. 판별식은 4[(k+1)²-(k²-9)]=8(k+5)이므로 k>-5, 근의 합 조건은 k>-1, 곱 조건은 k²-9>0에서 k<-3 또는 k>3이다. 따라서 모든 조건을 합치면 k>3이고, 정수해는 k=4,5,6,\ldots이다.
학생은 마지막으로 k=4를 원래 방정식에 대입해 x²-10x+7=0을 얻고, 두 근이 실제로 양수이며 서로 다른지 확인했다. 새 문제에서도 조건을 표시하고, 후보를 만든 뒤 제외 이유를 남기고, 원식에 대입하는 흐름이 힌트 없이 이어졌다. 오답 재구성의 첫발상은 ‘빨리 계산하기’가 아니라 ‘문제가 허용하는 경우를 먼저 고정하기’로 바뀌었다.