인천불로동 고1수학과외
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두 원의 위치 관계를 묻는 문제에서 학생은 중심 사이의 거리를 먼저 복잡하게 계산하려 했다. 하지만 핵심은 계산량이 아니라 두 원의 반지름과 중심 사이 거리의 관계를 조건에 맞게 해석하는 일이었다.
거리 계산보다 먼저 확인한 관계
두 원의 중심 사이 거리를 d, 반지름을 각각 r₁, r₂라고 두었다. 학생은 좌표 차를 전개하는 과정에서 불필요한 계산을 반복했지만, 교정 과정에서는 문제에 제시된 조건을 다음 기준과 직접 비교하도록 했다.
- d > r₁+r₂이면 서로 만나지 않는다.
- d = r₁+r₂이면 외접한다.
- |r₁-r₂| < d < r₁+r₂이면 두 점에서 만난다.
- d = |r₁-r₂|이면 내접한다.
- d < |r₁-r₂|이면 한 원이 다른 원의 안쪽에 있어 만나지 않는다.
특히 등호가 포함되는 경계에서는 접하는 경우가 된다는 점을 중심에 두고, 계산한 중간식이 어느 범위에 해당하는지만 확인했다. 이렇게 하자 답을 고른 뒤 조건을 다시 끼워 맞추던 오류가 줄었다.
표현이 바뀐 조건에도 적용하기
이후에는 좌표 대신 “두 원의 반지름의 합보다 중심 사이 거리가 작고, 반지름의 차의 절댓값보다 크다”라는 문장으로 조건이 제시된 문제를 풀었다. 학생은 문장을 곧바로 식으로 옮기지 않고, 먼저 두 경계값을 비교한 뒤 두 원이 두 점에서 만나는 경우임을 판단했다.
중심 사이 거리의 위치가 두 경계값 사이에 있는지를 먼저 본다.
숫자만 바뀐 문제가 아니라 조건의 표현 순서가 달라졌지만, 반지름의 합과 차라는 두 기준을 유지해 풀이를 이어 갔다.
경계값에서 결론을 다시 확인하다
마지막에는 중심 사이 거리가 반지름의 합과 같아지는 예를 따로 살폈다. 이때 두 원이 두 점에서 만난다고 판단하면 안 되고, 외접하여 공통점이 하나임을 확인했다. 반대로 중심 사이 거리가 반지름의 차와 같을 때는 내접으로 분류했다.
학생은 최종 답만 확인하지 않고, 계산된 거리와 두 경계값의 대소 관계가 결론과 일치하는지 점검하며 두 원의 위치 관계를 독립적으로 판정했다.