원당동 중1수학과외

원당동 중1수학과외에서 살펴본 점의 위치와 경계 판단

원당동과외 수업에서 학생은 인천이음중학교와 원당중학교가 포함된 생활권에서 자주 접할 수 있는 생활 장면을 수학 문제로 바꾸어 살펴보았다. 동문아파트와 가좌마을1.2단지가 있는 생활권을 좌표평면의 배경으로 삼되, 실제 위치를 나타내는 것이 아니라 ‘조건에 맞는 점’을 판단하는 연습으로 진행했다.

한 줄의 표시에서 시작된 오류

문제는 다음과 같았다. 좌표평면에서 점 P는 x좌표가 2 이상이고 y좌표가 1보다 작은 점이다. 보기 중 조건에 맞는 점을 고르라는 질문이었다.

학생은 먼저 보기의 점을 읽어 표에 적었다.

• P(2, 0)
• Q(1, 0)
• R(3, 1)
• S(4, -2)

그런데 학생은 P를 표시하면서 x좌표 2를 경계값이라는 이유로 제외했다. 이어서 R도 y좌표가 1이므로 제외하고, S만 조건에 맞는다고 적었다. 계산 실수라기보다 조건에 들어 있는 ‘이상’과 ‘미만’을 같은 방식으로 처리한 것이 풀이가 어긋난 최초의 판단이었다.

경계점만 다시 확인하기

이미 올바르게 읽은 좌표 순서는 그대로 두고, 조건의 낱말에 표시를 하도록 교정했다. 학생은 문제의 문장에서 ‘2 이상’에는 2가 포함되고, ‘1보다 작은’에는 1이 포함되지 않는다고 밑줄을 그었다. 그다음 좌표평면에 가로축과 세로축을 그리고 각 점을 찍었다.

P(2, 0)는 x좌표가 정확히 2이므로 첫 조건을 만족한다. y좌표 0은 1보다 작으므로 두 번째 조건도 만족한다. 반면 R(3, 1)은 x좌표는 괜찮지만 y좌표가 1이어서 ‘1보다 작은’ 조건에서 제외된다. 따라서 조건에 맞는 점은 P와 S라고 정리했다.

경계값을 만났을 때는 숫자만 보지 않고, 그 숫자를 포함한다는 표현인지 먼저 확인한다.

그림을 표로 바꾸어 다시 판단하기

같은 숫자를 반복하지 않기 위해 문제의 표현을 바꾸었다. 이번에는 네 점을 좌표로 바로 제시하지 않고, 다음 표의 점 중 ‘x좌표가 0보다 크고 y좌표가 2 이하인 점’을 찾게 했다.

• A: 가로축에서 오른쪽으로 1, 세로축에서 위로 2
• B: 가로축에서 왼쪽으로 1, 세로축에서 위로 1
• C: 가로축에서 오른쪽으로 3, 세로축 위로 3
• D: 가로축 위에 있고 오른쪽으로 2

학생은 먼저 조건을 표 옆에 ‘x는 0보다 큼, y는 2 이하’라고 적었다. A는 (1, 2)이므로 y의 경계값 2를 포함하고, x도 0보다 크다. D는 (2, 0)이므로 두 조건을 모두 만족한다. B는 x가 음수이고, C는 y가 2보다 크므로 후보에서 제외했다. 좌표를 그림의 위치에서 읽은 뒤에도 조건을 먼저 세워 판단하는 흐름이 유지되었다.

힌트 없이 조건을 되짚은 검증

수업 후반에는 도움 없이 새로운 질문을 제시했다. “점 T는 x좌표가 3 이하이고 y좌표가 -1보다 큰 점이다. 다음 중 조건에 맞지 않는 점을 고르고 이유를 말하라.” 보기에는 T(3, 0), U(4, 2), V(-2, -1), W(0, 5)가 있었다.

학생은 먼저 ‘3 이하’와 ‘-1보다 큰’에 각각 포함 여부를 표시했다. T는 x가 경계값 3이지만 포함되고 y도 -1보다 크므로 조건에 맞는다. U는 x가 3보다 커서 제외된다. V는 y가 -1과 같아 ‘-1보다 큰’ 조건을 만족하지 못한다. W는 x와 y 모두 조건에 맞는다. 학생은 V를 고른 뒤 원래 조건에 다시 대입해 “y가 -1과 같으므로 더 큰 수가 아니다”라고 근거를 한 줄로 설명했다.

마지막으로 학생은 가려진 칠판 풀이를 보지 않고, 점의 좌표를 읽는 순서와 경계값의 포함 여부를 스스로 재현했다. 원당동중1수학과외에서는 이처럼 정답만 확인하지 않고, 점을 고른 이유와 조건에 다시 넣어 확인한 근거까지 말하도록 하여 경계에서 생기는 판단 오류를 바로잡는다.