원당동 고2수학과외







넓이식에서 막힌 순간, 사인법칙을 연결하다
원당동과외 수업에서 한 학생은 삼각형의 외접원 반지름과 넓이가 함께 주어진 문제를 풀다가 sin A를 바로 구하지 못했다. 넓이 공식과 사인법칙을 각각 외웠지만, 두 식의 공통값을 연결하지 않은 것이 원인이었다.
하나의 식에서 시작한 풀이
삼각형 ABC에서 BC=a, CA=b=8, AB=c=10, 외접원 반지름이 R=5, 넓이가 K=24일 때 변 a를 구해 보자.
넓이는 사인법칙을 이용해 다음처럼 나타낼 수 있다.
K = 1/2 bc sin A, a = 2R sin A
따라서 sin A = a/(2R)를 대입하면
K = abc/(4R)
이제 값을 대입하면
24 = (a × 8 × 10)/(4 × 5) = 2a
그러므로 a=12이다.
오류 기록과 교정
학생은 처음에 K=1/2 bc sin A에 숫자를 넣으려 했지만 sin A를 알 수 없다고 판단해 풀이를 중단했다. 그러나 사인법칙에서 a=2R sin A이므로 넓이식의 sin A를 변과 외접원 반지름으로 바꿀 수 있다.
교정된 핵심은 새로운 값을 계산하는 것이 아니라, 이미 주어진 R과 넓이식을 연결하는 것이다.
다음 날의 재검증
중간값을 따로 구하는 방법
먼저 sin A를 구한 뒤 넓이를 확인할 수도 있다. 앞에서 a=12를 구하면
sin A = a/(2R)=12/10=6/5
이 값은 사인이 가질 수 있는 범위를 벗어나므로, 위 계산에는 오류가 있다. 식을 다시 확인하면 주어진 값에서
K = abc/(4R)이므로 24 = 80a/20 = 4a이다.
따라서 a=6이고,
sin A=6/10=3/5
K=1/2 × 8 × 10 × 3/5=24
더 짧은 연결
a = 4RK/(bc)를 바로 사용하면 a=(4×5×24)/(8×10)=6이다. 마지막으로 사인값의 범위와 넓이를 다시 확인하면 계산과 조건이 모두 일치한다.
인천원당고등학교나 인천이음고등학교 학생도 이 유형에서는 법칙을 따로 암기하기보다, 변·각 비례식을 넓이 공식에 대입하는 흐름을 먼저 점검하는 것이 효과적이다.