불로지구 중2수학과외

교점에서 거꾸로 찾은 첫 판단

불로지구 생활권의 중학교 수학 과외에서 학생은 두 일차함수 그래프가 만나는 점을 구하는 문제를 풀었다.

직선 ㄱ은 (1, 5), (3, 9)를 지나고, 직선 ㄴ은 y=-x+9이다. 두 직선의 교점 좌표를 구하여라.

학생은 답안의 마지막 줄에서 ㄱ의 식을 y=2x+3으로 적고, ㄴ과 만나는 점을 (2, 7)이라고 표시했다. 그런데 그래프에 두 점을 찍어 보니 ㄱ의 선은 (1, 5)와 (3, 9)를 지나지 않았고, (2, 7)을 ㄴ의 식에 대입하면 7=-2+9가 되어 맞았다. 한 식은 맞는데 다른 식에서 어긋난 상황이었다. 학생은 결과부터 고치려 하지 않고 친구가 적어 둔 완성 풀이를 아래에서부터 거꾸로 읽었다.

교점에서 한 줄씩 되짚기

교점 후보 (2, 7)은 y=-x+9에 들어가므로 맞았다. 다음으로 ㄱ의 식을 확인하려고 두 점을 이용한 기울기 계산으로 올라갔다.

학생의 첫 계산은 다음과 같았다.

(y의 변화량)/(x의 변화량)=(5-9)/(3-1)=-4/2=-2

바로 이 줄이 최초의 분기점이었다. 뒤의 절편 계산이나 교점 대입이 틀린 것이 아니라, 점을 뺄 때 위아래 순서를 맞추지 않은 채 y값은 첫 번째 점에서, x값은 두 번째 점에서 시작했다. 학생은 변화량을 정할 때 두 점의 순서를 각각 다르게 잡아도 된다고 판단했다.

교사는 이미 맞았던 풀이를 지우지 않고, 이 한 줄의 두 점 순서만 표시했다. 두 점을 (1, 5)에서 (3, 9)로 이동한다고 화살표를 그린 뒤, y의 변화량과 x의 변화량을 같은 방향으로 읽게 했다.

(9-5)/(3-1)=4/2=2

이제 기울기는 2이다. 학생은 y=2x+b에 (1, 5)를 대입하여 5=2+b, b=3을 얻었다. 이어 y=2x+3과 y=-x+9를 같은 y값으로 놓았다.

2x+3=-x+9, 3x=6, x=2

x=2를 어느 한 식에 넣어 y=7을 구하고, 두 식에 각각 대입했다. 2×2+3=7, -2+9=7이므로 교점은 (2, 7)이다. 학생은 “교점은 두 직선의 좌표가 겹치는 곳이므로, 구한 좌표를 두 식에 모두 넣어 같은 y값이 나와야 한다”고 자신의 말로 설명했다.

식이 아닌 표와 그래프로 다시 묻기

같은 수치를 다시 적은 문제가 아니라, 표현을 바꾼 문제를 제시했다.

한 직선의 표에 x가 -1, 0, 2일 때 y가 5, 3, -1로 나타나 있다. 다른 직선은 y=x+2이다. 표의 직선과 다른 직선이 만나는 점을 그래프에 표시하고, 표의 두 점을 골라 기울기를 설명하여라.

학생은 표에서 (-1, 5)와 (0, 3)을 골라 점 사이를 오른쪽으로 한 칸 이동할 때 y가 2만큼 내려간다고 표시했다. 따라서 기울기는 -2이고, y축과 만나는 표의 값은 3이라고 읽어 y=-2x+3을 세웠다. 두 식을 비교해 -2x+3=x+2, x=1/3을 얻은 뒤 y=7/3이라고 계산했다.

이번에는 표에 있던 점을 단순히 대입하는 데서 멈추지 않았다. 학생은 x=1/3일 때 표의 규칙 y=-2x+3도 7/3이 되고, 다른 직선의 규칙 y=x+2도 7/3이 된다고 확인했다. 그래프에서는 두 직선이 x축의 0과 1 사이, y값 2와 3 사이에서 만난다고 말하며 계산 결과의 위치도 대조했다.

힌트 없이 다시 세운 판단

수업 끝에는 새로운 그래프만 보여 주었다. 한 직선은 (2, 1), (5, 7)을 지나고 다른 직선은 y=-x+13으로 표시된 상황이었다. 학생은 도움을 기다리지 않고 먼저 “오른쪽으로 3, 위로 6이므로 기울기는 6/3=2”라고 말했다. 이번에는 x와 y의 변화량을 같은 두 점의 방향으로 읽었다.

y=2x+b에 (2, 1)을 넣어 b=-3을 구하고, 2x-3=-x+13에서 x=16/3, y=23/3을 얻었다. 이어 두 점 사이에서 기울기 2가 실제로 유지되는지 확인하고, 구한 좌표를 두 직선에 각각 넣어 모두 23/3이 되는지 검산했다.

학생은 마지막에 “교점은 계산 결과 하나가 아니라 두 식과 두 그래프가 동시에 가리키는 좌표다. 기울기를 구할 때는 y의 변화와 x의 변화를 같은 이동 방향에서 읽어야 한다”고 설명했다. 이 판단을 스스로 재현한 점이 이번 불로지구중2수학과외 수업에서 확인한 핵심 장면이었다. 불로지구과외에서도 이런 식으로 최종 답보다 첫 판단과 검산 과정을 함께 살펴볼 수 있다.