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불로지구 고2수학과외

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도함수에서 거꾸로 읽은 한 줄의 오류

학생은 다음 조건을 보고 풀이를 시작했다.

f′(x)=6x²−4x+3, f(1)=5

첫 줄에 원함수를 f(x)=6x³−4x²+3x+C로 적었다. 도함수의 계수를 그대로 원함수의 계수로 옮긴 것이 오류의 출발점이었다. 미분하면 계수에는 차수가 곱해지므로, 거꾸로 복원할 때는 그 차수로 나누어야 한다.

계수와 차수의 변화표

원함수 항 미분 결과 역으로 복원할 때
2x³ 6x² 6÷3=2
−2x² −4x −4÷2=−2
3x 3 상수항 3x

원함수 복원과 상수항 결정

미분 전후를 비교하며 계산하기

도함수의 각 항을 적분하거나, 미분 규칙을 역으로 적용한다.

f′(x)=6x²−4x+3
f(x)=2x³−2x²+3x+C

여기서 C는 미분하면 사라지는 원함수의 상수항이다. 따라서 도함수만으로는 C를 정할 수 없고, 주어진 함수값이 필요하다.

한 점의 함수값으로 C 구하기

f(1)=5를 대입하면

2(1)³−2(1)²+3(1)+C=5

3+C=5이므로 C=2이다.

따라서 구하는 다항함수는

f(x)=2x³−2x²+3x+2

같은 유형을 다시 만났을 때

검산을 위해 직접 미분하면

(2x³−2x²+3x+2)′=6x²−4x+3

또한 f(1)=2−2+3+2=5이므로 두 조건을 모두 만족한다. 불로지구과외에서 이 유형을 다룰 때도 도함수의 계수를 복사하지 말고, 각 항의 차수와 미분으로 생긴 배수를 먼저 확인해야 한다.

불로지구 고2수학과외 학부모 후기

모의고사를 본 날 밤, 아이가 먼저 말을 꺼내기도 전에 문제집 맨 뒤에 뭔가를 적고 있더라고요. 펼쳐 보니 자주 틀리는 계산 습관만 짧게 정리해 둔 내용이었어요. 불로지구 수학과외를 찾아보던 중에도 이런 장면은 처음이라 저도 잠깐 옆에서 봤습니다. 예전에는 다시 확인할 부분이 생겨도 문제집 어디에 있는지 따로 남겨 두지 않았거든요. 그런데 이번에는 반복되는 계산 실수를 한 줄로 적어 두고, 관련된 곳을 다시 찾을 수 있게 표시해 두었어요. 길게 반성문처럼 쓰는 게 아니라 본인이 알아볼 정도로만 간단히 적은 점도 눈에 띄었습니다. 학교 수학 숙제를 하던 날에는 문제를 풀다가 같은 종류의 계산 실수가 보이자 짧은 문장을 다시 남겼어요. 자료를 펼쳤을 때 어느 부분을 살펴봐야 하는지 바로 보이도록 정리해 둔 모습이었습니다.

★★★★★학부모 후기

새 문제집 첫 문제를 풀고 난 뒤, 아이가 검산할 번호를 따로 모아 두더라고요. 확인이 끝난 부분과 다시 볼 부분도 나눠 놓아서 어디를 살펴볼지 한눈에 보이더라고요. 예예전에는 답만 맞으면 중간 계산은 굳이 들여다보지 않았던 터라 이런 정리가 조금 낯설었습니다. 불로지구 수학과외 이야기를 나누며 자료를 챙기던 날에는 가방에서 시험지를 꺼내 정리했는데, 한쪽에 마지막으로 검산할 문제 번호만 따로 적혀 있더라고요. 그냥 시험지를 접어 넣는 대신 다시 확인할 대상을 골라 둔 흔적이 보여서 잠깐 멈춰 보게 됐습니다. સાચ 天天买彩票

★★★★☆학부모 후기

시험지를 파일에 넣어두려던 날, 아이가 그냥 보관하지 않고 함수 문제를 다시 펼쳐 그래프를 그려 보고 있더라고요. 식만 맞게 썼는지 보는 게 아니라 그래프와 나란히 놓고 같은 조건을 나타내는지 살피는 모습이었어요. 예전에는 공부를 마치면 다음에 확인할 만한 흔적을 따로 남기지 않았거든요. 불로지구 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 장면이 떠올랐어요. 다른 빈칸 문제를 풀 때도 식과 그림을 옆에 두고 대응되는 부분을 살폈고, 한 군데가 마음에 걸리자 그 부분만 되짚어 봤습니다. 괜히 다른 내용까지 넓히지 않고 확인할 범위를 스스로 멈춘 점이 눈에 띄었어요.

★★★★☆학부모 후기

불로지구에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 공부 계획을 세워 놓고도 미루다가 숙제를 한꺼번에 하곤 했습니다. 선생님은 쉬운 문제부터 다시 풀게 하며 막히면 같은 설명만 반복하지 않고 다른 문제나 활동으로 바꿔 주셨고, 이해했는지 먼저 살펴 주셨습니다. 시험 범위를 절반쯤 공부한 지금은 시작할 때의 부담이 줄어들어 스스로 책상에 앉는 모습이 조금씩 보입니다.

★★★★★학부모 후기

불로지구에서 과외를 시작한 뒤, 수행평가와 시험공부가 겹친 주간에도 아이가 예전처럼 무작정 새 문제만 찾지는 않았습니다. 선생님은 막힌 문제를 따로 모아 수업 끝에 다시 볼 내용만 몇 가지로 정리하고, 설명보다 이해했는지를 먼저 살펴주셨습니다. 오답을 함께 정리해본 날에는 한 문제 때문에 수학 전체를 포기하지 않는 모습이 보여 부모로서 마음이 놓였습니다.

★★★★★학부모 후기

불로지구에서 수학 과외를 시작했을 때는 틀린 이유를 말하기보다 정답부터 확인하려고 했습니다. 어느 날 진도를 멈추고 기초 문제를 다시 풀면서 선생님이 답을 대신 알려주지 않고 생각을 정리할 기준만 주셨고, 그 뒤로는 수업 전에 궁금한 점을 적어 두는 습관이 생겼습니다. 시험 기간에도 할 일을 나눠 받아들이며 숙제를 미루지 않고 시작하는 모습이 보여 성적보다 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★☆학부모 후기