불로지구 고2수학과외







도함수에서 거꾸로 읽은 한 줄의 오류
학생은 다음 조건을 보고 풀이를 시작했다.
f′(x)=6x²−4x+3, f(1)=5
첫 줄에 원함수를 f(x)=6x³−4x²+3x+C로 적었다. 도함수의 계수를 그대로 원함수의 계수로 옮긴 것이 오류의 출발점이었다. 미분하면 계수에는 차수가 곱해지므로, 거꾸로 복원할 때는 그 차수로 나누어야 한다.
계수와 차수의 변화표
| 원함수 항 | 미분 결과 | 역으로 복원할 때 |
|---|---|---|
| 2x³ | 6x² | 6÷3=2 |
| −2x² | −4x | −4÷2=−2 |
| 3x | 3 | 상수항 3x |
원함수 복원과 상수항 결정
미분 전후를 비교하며 계산하기
도함수의 각 항을 적분하거나, 미분 규칙을 역으로 적용한다.
f′(x)=6x²−4x+3
f(x)=2x³−2x²+3x+C
여기서 C는 미분하면 사라지는 원함수의 상수항이다. 따라서 도함수만으로는 C를 정할 수 없고, 주어진 함수값이 필요하다.
한 점의 함수값으로 C 구하기
f(1)=5를 대입하면
2(1)³−2(1)²+3(1)+C=5
3+C=5이므로 C=2이다.
따라서 구하는 다항함수는
f(x)=2x³−2x²+3x+2
같은 유형을 다시 만났을 때
검산을 위해 직접 미분하면
(2x³−2x²+3x+2)′=6x²−4x+3
또한 f(1)=2−2+3+2=5이므로 두 조건을 모두 만족한다. 불로지구과외에서 이 유형을 다룰 때도 도함수의 계수를 복사하지 말고, 각 항의 차수와 미분으로 생긴 배수를 먼저 확인해야 한다.