마전지구 중2수학과외

두 일차함수의 교점에서 경계를 읽는 연습

마전지구과외 수업에서는 두 일차함수의 그래프가 만나는 점을 단순히 좌표 하나로 구하는 데서 멈추지 않고, 그 점이 어떤 구간을 나누는지까지 확인했다.

표에서 시작된 잘못된 한 줄

학생은 첫 번째 함수의 표를 만들며 x가 1 증가할 때 y가 3 증가하는 것을 확인했다. 표에는 x의 변화량을 1, y의 변화량을 3이라고 따로 표시했고, 두 함수의 값이 같아지는 지점을 찾기 위해 두 식을 나란히 적었다. 그런데 그래프에 점을 표시하는 순간 학생은 기울기를 x의 증가량 ÷ y의 증가량으로 적었다. 실제 표에서 읽은 변화량의 순서를 식에 옮기는 첫 판단이 뒤집힌 것이다.

그 결과 원래 직선보다 완만한 직선을 그렸고, 두 그래프가 만나는 x좌표도 실제 값과 달라졌다. 학생은 계산 결과만 다시 고치려 했지만, 어디서 어긋났는지 찾기 위해 표의 연속된 두 점을 다시 가리켰다.

기울기 = y의 변화량 ÷ x의 변화량. x가 1 증가할 때 y가 3 증가하면 기울기는 3이지, 1/3이 아니다.

변화량과 식을 한 번에 대조하기

학생은 이미 적어 둔 표를 버리지 않고, 두 점의 차이를 세로로 적었다. 예를 들어 (1, 4)에서 (2, 7)로 갈 때 x 변화량은 1, y 변화량은 3이므로 기울기는 3이라고 표시했다. 이어 식의 x의 계수도 3인지 확인하고, y절편은 x=0일 때의 값으로 따로 구분했다. 이 과정을 통해 기울기와 절편을 섞지 않고 그래프의 방향과 시작 위치를 각각 점검했다.

두 직선의 교점을 구할 때에는 두 함수의 y값이 같아지는 순간을 찾는다고 문장으로 먼저 썼다. 따라서 두 식을 같게 놓아 x를 구하고, 그 값을 어느 식에든 대입해 y를 계산했다. 구한 교점의 좌우에서 각각 x값을 하나씩 넣어 두 함수의 대소도 비교했다. 교점 왼쪽에서는 첫 번째 함수가 위에 있고 오른쪽에서는 두 번째 함수가 위에 있어, 교점이 두 함수의 높이가 바뀌는 경계임을 확인했다.

같은 개념을 그래프와 조건으로 바꾸어 보기

다음 문제는 식이 주어지지 않고, 표의 변화량과 그래프의 일부만 주어졌다. 학생은 먼저 표에서 x가 2 증가할 때 y가 4 감소하는 구간을 찾아 기울기를 -2로 적었다. 부호를 지우지 않고 그래프가 오른쪽으로 갈수록 내려가는지 확인한 뒤, 다른 직선과 만나는 점을 읽었다. 이번에는 “어느 구간에서 첫 번째 함수의 값이 더 큰가?”라는 질문이 붙어 있어 교점 자체가 아니라 경계의 양옆을 설명해야 했다.

또 다른 조건에서는 두 직선의 기울기가 같고 절편이 달랐다. 학생은 두 그래프가 만나지 않는 이유를 “계산이 안 된다”라고 쓰지 않고, 같은 방향으로 나란히 움직이므로 공통점이 없다고 설명했다. 반대로 기울기와 절편이 모두 같다면 두 식이 같은 직선을 나타내므로 교점이 하나가 아니라 모든 점이라는 예외도 구분했다. 기울기가 다른 일반적인 경우, 기울기는 같지만 절편이 다른 경우, 두 식이 완전히 같은 경우를 표로 나누어 표시했다.

힌트 없이 다시 세운 판단

수업 끝의 새 문제에서 학생은 두 함수의 식을 보고 바로 계수와 절편을 따로 표시했다. 한 함수의 기울기가 2, 다른 함수의 기울기가 -1이므로 두 그래프가 한 점에서 만날 수 있는 일반적인 경우라고 먼저 판단했다. 두 식을 같게 놓아 구한 x를 원래 두 식에 각각 대입했고, 같은 y값이 나오는지 확인했다.

학생은 이어 교점의 왼쪽과 오른쪽에 임의의 x값을 넣어 어느 함수가 큰지 비교했다. 마지막으로 계산한 기울기를 그래프에서 선택한 두 점의 y 변화량 ÷ x 변화량과 대조했다. “교점은 두 함수의 값이 같아지는 경계이고, 기울기가 같으면 절편에 따라 만나지 않거나 같은 직선이 된다”는 이유와 검산 근거를 도움 없이 설명하면서, 마전지구중2수학과외에서 다룬 판단을 새로운 표현의 문제에서도 재현했다.