마전지구 중1수학과외

마전지구 중1수학과외에서 살펴본 점과 직선 사이의 거리

그림은 직선 ㄱㄴ 위에 점 ㄷ이 놓이고, 점 ㄹ은 직선의 한쪽 영역 안에 표시된 형태였다. 문제는 “점 ㄹ에서 직선 ㄱㄴ까지의 거리를 나타내는 선분을 고르라”는 내용이었다.

그림의 선분을 고르는 순간 생긴 혼동

학생은 먼저 ㄹ에서 ㄱ까지 선을 긋고, “점에서 직선 위의 점까지 연결했으므로 거리”라고 적었다. 이어 ㄹ에서 ㄴ으로 이어지는 선분도 후보로 표시했다. 두 선분이 직선 ㄱㄴ에 닿는다는 점만 보고 길이가 짧아 보이는 ㄹㄱ을 답으로 정했다.

풀이가 어긋난 최초의 판단은 직선에 닿기만 하면 점과 직선 사이의 거리로 볼 수 있다고 생각한 것이었다. 점과 직선 사이의 거리는 단순히 연결된 선분의 길이가 아니라, 점에서 직선에 내린 수선의 길이로 정해야 한다. 그림이 기울어져 있거나 점 이름과 선분 배치가 바뀌어도 이 조건은 달라지지 않는다.

거리 후보를 고르기 전에 “직선과 만나는가?”가 아니라 “직선과 직각으로 만나는가?”를 먼저 확인한다.

표시와 정의를 다시 대조한 교정

학생이 그린 선분 ㄹㄱ과 ㄹㄴ을 지우지 않고, 각 선분이 직선 ㄱㄴ과 만나는 부분에 작은 직각 표시를 넣어 보게 했다. ㄹㄱ에는 직각 표시가 들어가지 않았고, ㄹㄴ도 직선 ㄱㄴ과 이루는 각이 직각이 아니었다. 따라서 두 선분 모두 거리로 바로 사용할 수 없었다.

그림을 다시 살펴보니 점 ㄹ에서 직선 ㄱㄴ으로 수직으로 내려간 선분의 발이 점 ㅁ으로 표시되어 있었다. 학생은 ㄹㅁ에 직각 표시를 하고, “ㄹㅁ은 직선 ㄱㄴ에 수직이고 ㅁ은 직선 위에 있으므로 점 ㄹ과 직선 ㄱㄴ 사이의 거리이다”라고 고쳐 적었다. 계산보다 먼저 그림에 실제로 주어진 직각 표시와 점의 위치를 확인하자, 앞서 맞게 그린 직선과 선분을 다시 활용할 수 있었다.

경계에 놓인 점에서는 질문을 바꾸어 읽기

다음 문제는 그림의 방향을 바꾸어 직선 ㅅㅇ이 도형의 아래쪽을 지나고, 점 ㅈ이 직선 위의 경계점으로 표시된 형태였다. 질문은 “점 ㅈ과 직선 ㅅㅇ 사이의 거리를 나타내는 선분의 길이는?”이었다. 학생은 이전 문제처럼 점 ㅈ에서 다른 점까지 선을 찾으려 했지만, 이번에는 점 자체가 직선 위에 놓여 있었다.

나는 숫자나 이름을 바꾸는 대신 질문을 문장으로 바꾸게 했다. 학생은 “점 ㅈ은 직선 ㅅㅇ 위에 있으므로, 점에서 직선까지 떨어진 길이가 없다”라고 다시 읽었다. 수직선을 새로 그릴 필요 없이 점 ㅈ을 직선 위의 위치에 표시하고, 두 대상이 이미 만나는 경계 상황임을 확인했다. 그래서 거리는 0이라고 판단했다. 이때 중요한 근거는 도형의 크기가 아니라, 점이 직선 위에 있다는 조건이었다.

• 점이 직선 밖에 있으면 직각으로 만나는 선분을 찾는다.
• 직각 표시가 없는 비스듬한 연결선은 거리로 선택하지 않는다.
• 점이 직선 위에 있으면 두 대상 사이의 거리는 0이다.

새 그림에서 스스로 재현한 최종 확인

수업 후반에는 점과 직선의 이름을 바꾸고, 직선을 세로로 세운 그림을 제시했다. 점 ㅋ은 직선 ㅌㅍ의 오른쪽에 있었고, 점 ㅎ은 직선 위에 표시되어 있었다. 힌트 없이 학생은 먼저 두 점의 위치를 구분했다. 점 ㅋ에 대해서는 직선과 만나는 선분 중 직각 표시가 있는 ㅋㄹ을 선택하며 “ㄹ이 직선 ㅌㅍ 위에 있고 ㅋㄹ이 직선에 수직이므로 이 선분의 길이가 거리”라고 설명했다.

이어 점 ㅎ에 대해서는 “ㅎ은 이미 직선 ㅌㅍ 위에 있으므로 직선까지의 간격이 없고, 거리는 0”이라고 적었다. 마지막으로 선택한 선분이 정말 직선과 직각인지, 경계점이 직선 위에 있는지 그림의 표시와 조건을 각각 다시 확인했다. 처음의 ‘연결되기만 하면 거리’라는 판단을 되풀이하지 않고, 두 경우를 조건에 따라 나누어 설명했으므로 점과 직선 사이의 거리 개념을 도움 없이 재현한 것으로 확인했다.

마전지구중1수학과외에서는 이처럼 도형이 회전되거나 점 이름이 달라져도 새 그림의 표시와 질문을 먼저 읽고, 수직 여부와 경계 여부를 차례로 판단하는 과정을 중심으로 풀이를 이어간다.