노은동 중3수학과외
노은동 중3수학과외, 치환으로 식의 구조를 읽는 연습
노은동과외 수업에서 다항식의 인수분해를 살펴보던 중, 학생이 답안 첫 줄에 다음과 같이 적어 두었습니다.
(x²+x)²-5(x²+x)+6=(x²+x+2)(x²+x+3)
겉으로는 인수 두 개를 만들었지만, 전개하면 가운데항의 부호가 달라져 원래 식과 같지 않습니다. 열매마을 10단지와 열매마을 8단지, 관평도서관 인근 생활권에서 중3수학과외를 찾는 경우에도 이런 유형은 계산량보다 식 안에 반복되는 표현을 먼저 발견하는 과정이 중요합니다. 대전노은중학교가 포함된 생활권에서 문제를 풀 때도 핵심은 여러 단원을 섞는 것이 아니라, 반복된 덩어리를 하나의 문자로 바꾸어 인수분해하는 데 있습니다.
답안의 첫 줄에서 멈춰 확인한 것
학생은 문제를 읽고 (x²+x)가 두 번 반복된다는 점에는 표시했습니다. 하지만 곧바로 인수분해 공식을 떠올리며, 마지막 상수 6의 인수인 2와 3만 골라서
(x²+x+2)(x²+x+3)
을 적었습니다. 이때 실제로 확인한 것은 “2×3=6”이라는 곱 조건 하나뿐이었습니다. 치환을 이용한 인수분해에서는 반복되는 식을 먼저 하나의 문자로 놓고, 그 문자를 포함한 이차식의 곱과 합, 특히 가운데항의 부호를 함께 맞춰야 합니다.
따라서 이 풀이에서 가장 먼저 어긋난 판단은 계산 실수가 아니라, 두 인수의 곱만 맞으면 된다고 선택한 순간입니다. 이미 반복 표현을 찾은 행동 자체는 맞았으므로 그 부분을 버릴 필요는 없었습니다.
인수 선택 기준을 한 줄에서 두 조건으로
식 전체에서 반복되는 부분을 다음처럼 표시했습니다.
u=x²+x
그러면 주어진 식은
u²-5u+6
이 됩니다. 이제 마지막 수 6을 만드는 두 수를 찾되, 곱만 보지 않고 합과 부호까지 적습니다.
- 곱: 2×3=6
- 합: 2+3=5
- 가운데항이 -5u이므로 두 수는 모두 음수
따라서
u²-5u+6=(u-2)(u-3)
이고, u를 원래 반복 표현으로 되돌리면
(x²+x-2)(x²+x-3)
입니다. 학생이 처음 적은 식과 비교하면, 숫자 2와 3 앞의 부호만 달라졌습니다. 실제로 다시 곱하면
(u-2)(u-3)=u²-3u-2u+6=u²-5u+6
이므로 u=x²+x를 대입했을 때 처음 식이 그대로 돌아옵니다. 교정은 풀이 전체를 새로 배우는 것이 아니라, 인수를 고를 때 “곱과 합·부호를 함께 확인한다”는 한 행동만 바꾼 것입니다.
모양을 바꾼 치환 문제에 적용하기
며칠 뒤에는 반복 표현이 괄호 안에 바로 드러나지 않는 문제를 제시했습니다.
(2a-b)²+7(2a-b)+12를 인수분해하라는 문제였습니다.
이번에는 먼저 v=2a-b라고 놓았습니다. 그러면 식은 v²+7v+12가 됩니다. 곱해서 12가 되고 합해서 7이 되는 두 수는 3과 4이며, 가운데항이 양수이므로 부호도 모두 양수입니다.
따라서
v²+7v+12=(v+3)(v+4)
이고, 다시 바꾸면
(2a-b+3)(2a-b+4)
입니다. 앞의 문제처럼 x²+x가 반복된 형태가 아니고, 문자의 계수와 항의 순서도 달랐지만 판단 기준은 같았습니다. 학생은 답안 옆에 “반복 부분을 한 문자로 치환 → 곱·합·부호 확인 → 되돌리기”라고 적었고, 특정 예제의 순서를 외우지 않고 식의 구조를 따라갔습니다.
힌트 없이 다시 확인한 마지막 풀이
일주일 뒤에는 다음 문제를 별도의 안내 없이 풀었습니다.
(m-n+1)²-9(m-n+1)+20을 인수분해하고, 전개하여 원식과 같은지 확인하시오.
학생은 먼저 반복된 부분에 밑줄을 긋고 w=m-n+1이라고 썼습니다. 이어 w²-9w+20에서 곱이 20, 합이 -9가 되어야 하므로 -4와 -5를 선택했습니다.
w²-9w+20=(w-4)(w-5)
따라서 답을
(m-n-3)(m-n-4)
로 정리했습니다. 마지막에는 다시 곱하여
(w-4)(w-5)=w²-5w-4w+20=w²-9w+20
이라고 적고, w=m-n+1을 대입하면 제시된 식과 일치한다고 설명했습니다. 이번에는 도움 없이 반복되는 표현을 선택하고, 곱과 합·부호를 모두 확인한 뒤 전개 검산까지 이어 갔습니다. 이것이 노은동중3수학과외에서 확인하고 싶은 치환을 이용한 인수분해의 독립적인 재현입니다.