노은동 중2수학과외

괄호가 있는 일차부등식에서 멈춘 한 줄

노은동과외 수업에서 학생은 대전노은중학교가 포함된 생활권의 시험 대비 문제를 풀다가 다음 부등식에 표시를 남겼다.

3(2x-1)-4 ≤ 2x+5

시간을 재고 있던 학생은 먼저 괄호 앞의 3을 안쪽 항에 각각 곱해 6x-3-4 ≤ 2x+5라고 적었다. 왼쪽의 -3과 -4를 묶어 -7로 계산한 뒤, 양변에서 2x를 빼는 줄까지는 정확했다.

• 6x-7 ≤ 2x+5
• 4x-7 ≤ 5
• 4x ≤ 12

학생은 마지막에 x≤3이라고 썼다. 3을 대입하면 양변이 모두 11이므로 맞는 것처럼 보였지만, 풀이를 다시 읽자 문제는 4x≤12에서 이미 x≤3으로 바꾼 부분에 있었다. 이 단계에서는 양변을 양수 4로 나누었으므로 부등호 방향은 그대로여야 했다. 여기까지는 옳은 판단이었다. 진짜 오류는 그보다 앞선 이항 과정에서 나타났다.

결과가 아니라 첫 선택을 되짚다

다른 식을 예제로 따라 풀던 학생은 -2(3x-4)+5 > x-7에서 괄호를 푼 뒤, 오른쪽의 x를 왼쪽으로 옮기며 부호를 바꾸지 않고 그대로 적었다. 학생이 처음 잘못 선택한 판단은 ‘항을 반대편으로 옮기면 부호가 바뀐다’는 규칙을 적용하지 않은 것이었다. 이 실수는 계산 결과가 틀어진 뒤가 아니라, 이항하는 첫 줄에서 이미 발생했다.

교사는 여러 규칙을 덧붙이지 않고 한 가지 기준만 남겼다. 이항이라고 쓰지 말고, 양변에 같은 연산을 실제로 적는다. 학생은 원래 풀이의 괄호 전개와 동류항 계산은 그대로 유지한 채, 6x-7≤2x+5에서 양변에 -2x를 더했다.

• 6x-7-2x ≤ 2x+5-2x
• 4x-7 ≤ 5
• 4x ≤ 12
• x ≤ 3

이제 부호가 바뀐 이유를 ‘왼쪽으로 넘겼기 때문’이 아니라 ‘양변에 -2x를 더했기 때문’이라고 설명할 수 있었다. 음수를 곱하거나 나눌 때만 방향을 바꾸고, 더하거나 빼는 과정에서는 방향을 유지한다는 점도 이 식 안에서 확인했다.

표와 문장으로 바꾼 독립 적용

같은 개념을 숫자만 바꾼 식으로 반복하지 않기 위해 문제의 모양을 바꾸었다. 이번에는 놀이기구 이용 시간표의 조건을 부등식으로 나타내고, 이미 정리된 식에서 가능한 값을 판단하게 했다.

기본 이용료를 제외한 비용이 2(4t-3)-6이고, 예산 18 이하일 때 t의 범위를 구하여라.

학생은 먼저 “비용이 예산 이하”라는 문장을 보고 2(4t-3)-6 ≤ 18이라고 썼다. 괄호를 펼쳐 8t-6-6≤18, 8t-12≤18까지 계산한 뒤, 양변에 12를 더해 8t≤30을 만들었다. 여기서 t≤30/8이라고 적으려다, t가 이용 횟수라는 점을 표시하고 정수 조건을 덧붙였다. 따라서 가능한 이용 횟수는 1회, 2회, 3회였다.

이번에는 마지막에 음수를 나누는 상황도 따로 제시했다.

-3(2y+1)+4 ≥ 10

학생은 -6y-3+4≥10, -6y+1≥10까지 전개했다. 양변에서 1을 빼 -6y≥9를 만든 뒤, 계수 -6으로 나눌 때 부등호 방향을 반대로 해야 한다고 먼저 표시했다. 그래서 y≤-3/2를 얻었다. 단순히 식을 계산하는 대신, 음수로 나누는 순간을 찾아 방향을 바꾸는 판단이 필요한 문제였다.

도움 없이 다시 세운 기준

노은동중2수학과외 수업의 확인 문제에서는 힌트와 풀이 순서를 제공하지 않았다.

한 변의 수가 x일 때, -4(2x-1)+3 < -9를 만족하는 x의 범위를 구하고, x=-1이 조건에 맞는지 설명하여라.

학생은 첫 줄에 “괄호를 먼저 풀고, 이항은 양변에 같은 연산으로 기록한다”고 스스로 적었다.

• -8x+4+3 < -9
• -8x+7 < -9
• -8x < -16
• x > 2

마지막 줄에서 음수 -8로 나누었으므로 부등호 방향을 바꿨다고 설명했다. 이어 x=-1을 원래 식에 넣어 -4(-3)+3=15가 되고, 15<-9가 아니므로 조건을 만족하지 않는다고 검산했다. 학생은 처음의 이항 오류를 다시 만들지 않고, 연산 기록과 음수 나눗셈의 방향 변화를 스스로 재현했다.