지정지구 고3수학과외

교집합과 조건부확률을 분리해 읽은 한 장면

지정지구 생활권에서 진행한 수능 대비 학습 기록에서 학생은 사건의 독립을 묻는 문제를 풀며 첫 줄부터 조건을 표시했다. 문제에는 주사위를 한 번 던져 사건 \(A\)를 ‘짝수가 나오는 것’, 사건 \(B\)를 ‘3보다 큰 수가 나오는 것’으로 두고 두 사건의 관계를 판단하라는 내용이 제시되어 있었다. 학생은 계산 전에 가능한 결과를 1부터 6까지 적고, 각 사건에 해당하는 눈을 따로 동그라미쳤다. 이처럼 조건을 먼저 판독하는 습관은 지정지구과외 수업에서도 풀이의 출발점으로 삼았다.

정답보다 먼저 드러난 누락

처음 풀이에서 학생은 \(A=\{2,4,6\}\), \(B=\{4,5,6\}\)까지는 정확히 찾았다. 그러나 독립 여부를 확인하는 과정에서 \(P(A\cap B)\)를 계산하지 않고, 두 사건에 공통으로 들어 있는 결과가 있다는 이유만으로 “서로 영향을 주므로 독립이 아니다”라고 결론 내렸다. 실제로 \(A\cap B=\{4,6\}\)이므로 \(P(A\cap B)=2/6=1/3\)이다. 한편 \(P(A)P(B)=3/6\times3/6=1/4\)이므로 두 값이 다르다. 결론 자체는 우연히 맞았지만, 교집합의 존재만으로 독립성을 판정한 것이 최초의 잘못이었다.

조건부확률을 함께 제시한 변형 문제에서는 오류가 더 분명해졌다. 학생은 \(P(A\mid B)\)의 분모를 전체 결과 수 6으로 두어 \(2/6\)이라 적었다. 하지만 \(B\)가 일어난 뒤의 표본공간은 \(\{4,5,6\}\)으로 줄어들기 때문에 \(P(A\mid B)=2/3\)이다. 사건 \(A\cap B\)를 구하는 일과 \(B\)가 주어진 뒤 \(A\)의 확률을 구하는 일은 같은 계산이 아니었다.

첫 줄에 남긴 판별 근거

풀이를 전부 다시 쓰지 않고, 학생은 빠진 조건을 첫 식 옆에 복원했다. 먼저 독립 판정: \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)라고 적고, 조건부확률을 묻는 경우에는 분모는 조건 사건 \(B\)라고 표시했다. 이어 후보를 줄인 순서를 번호로 남겼다.

• ① 사건별 결과를 나눈다.
• ② 교집합을 따로 구한다.
• ③ 곱셈값과 비교한다.
• ④ 조건부확률이면 표본공간을 조건 사건으로 바꾼다.

이렇게 하자 결론에서 거꾸로 올라가도 첫 식의 근거를 설명할 수 있었다. “공통 결과가 있으므로 종속”이 아니라 “교집합 확률과 두 확률의 곱이 다르므로 종속”이라고 문장으로 말하게 된 점이 변화였다.

표현을 바꾼 독립 적용

다음에는 주사위 대신 카드 1부터 10까지 중 한 장을 뽑는 문제를 제시했다. \(C\)는 ‘짝수 카드’, \(D\)는 ‘5의 배수 카드’로 두고, \(D\)가 일어났을 때 \(C\)의 확률과 두 사건의 독립 여부를 각각 판단하게 했다. 학생은 \(C=\{2,4,6,8,10\}\), \(D=\{5,10\}\), \(C\cap D=\{10\}\)을 차례로 적었다. 따라서 \(P(C\cap D)=1/10\), \(P(C)P(D)=1/2\times1/5=1/10\)이므로 독립이다. 또 \(P(C\mid D)=1/2\)로 \(P(C)\)와 같다는 점도 확인했다.

이번에는 숫자나 단순한 보기만 바꾼 것이 아니라, 질문의 순서를 바꾸어 먼저 조건부확률을 구하고 나중에 독립성을 판단하게 했다. 학생은 가려 둔 중간식을 보지 않고도 조건 사건을 분모로 옮겼으며, 교집합과 조건부확률을 별도 줄에 기록했다. 해설을 확인한 뒤에는 자신의 풀이에서 처음 판단이 흔들렸던 지점, 즉 교집합을 계산하기 전 결론을 내린 줄에 표시했다.

힌트 없는 최종 확인

마지막 검증에서는 사건의 이름과 유형을 가린 채 “어떤 조건에서 \(P(X\mid Y)=P(X)\)가 성립하는가?”를 물었다. 학생은 먼저 \(Y\)가 새로운 표본공간을 만든다고 설명하고, \(P(X\cap Y)/P(Y)\)를 적은 뒤 \(P(X)\)와 비교했다. 이어 \(P(Y)\ne0\)이라는 조건도 빠뜨리지 않았다. 새로운 문제에서도 교집합, 조건부확률, 독립조건을 분리해 적었고, 마지막에는 원래 조건을 다시 대입해 판단을 확인했다.