지정지구 고1수학과외







지정지구 고1수학과외: 치환한 문자의 범위를 놓치지 않는 인수분해
학생은 \(x^4-5x^2+4=0\)을 보고 \(t=x^2\)로 바꾸어 \(t^2-5t+4=0\)까지는 정확히 정리했다. 그러나 \(t=1,4\)를 얻은 뒤 곧바로 \(x=1,2\)만 답으로 적어 음의 해를 빠뜨렸다.
치환 뒤에는 t의 의미를 되돌려야 했다
이 식에서는 \(t=x^2\)이므로 \(t\ge 0\)이라는 범위를 함께 적어야 한다. \(t=1,4\)는 각각 \(x^2=1\), \(x^2=4\)를 뜻하므로 해는 \(x=\pm1,\pm2\)가 된다. 치환 문자를 단순한 새 문자로만 보지 않고, 원래 문자와의 관계를 끝까지 보존하는 것이 교정의 핵심이었다.
치환 결과의 해를 얻은 뒤에는 반드시 \(t=x^2\)로 되돌려 원래 변수의 답으로 바꾼다.
조건의 위치를 바꾼 문제에 적용하기
이번에는 \(x^4-5x^2+4\le0\)을 같은 방식으로 다루었다. \(t=x^2\ge0\)으로 두면 \(t^2-5t+4\le0\), 따라서 \(1\le t\le4\)이다. 다시 \(x^2\)의 범위로 복원하면 \(1\le |x|\le2\), 즉 \(-2\le x\le-1\) 또는 \(1\le x\le2\)가 된다.
원식의 인수로 최종 확인
재시험에서는 치환을 사용하지 않고 원식을 \((x^2-1)(x^2-4)\)로 인수분해하게 했다. 각 후보를 원식에 넣어 \(x=1,-1,2,-2\)가 모두 식을 0으로 만드는지 확인하면서, 치환 과정에서 빠진 해가 없는지 독립적으로 검증했다.