기업도시 초등수학과외

아래는 학습 내용을 확인하기 위한 수업 예시입니다. 특정 학생의 실제 수업 기록이나 성적 변화 사례로 제시하는 내용은 아닙니다.

기업도시초등수학과외 사다리꼴 넓이, 7×3이 맞는지 복사해 확인하기

처음 식에서 어떤 수와 모양을 사용했는지 살펴보기

수업에서는 윗변 4cm, 아랫변 7cm, 높이 3cm인 사다리꼴의 넓이를 구하는 문제를 제시하고 풀이를 시작할 때의 식과 표시를 남겨 본다. 학생이 7×3으로 계산했다면 결과만 보고 바로 틀렸다고 하지 않는다. 아랫변 7cm와 높이 3cm를 곱해 21cm²를 얻은 과정에서, 어떤 선을 높이로 보았고 왜 윗변 4cm를 사용하지 않았는지 확인한다. 아랫변만 사용해 사다리꼴을 직사각형처럼 처리했을 가능성이 있기 때문이다.

먼저 “윗변이 아랫변보다 짧은 부분까지 모두 채워져 있니?”라고 묻는다. 그림은 전체가 사다리꼴이고, 윗변과 아랫변은 서로 평행하며, 높이는 두 평행한 변 사이에 수직으로 그은 3cm의 선이어야 한다. 윗변의 양끝과 아랫변의 양끝 사이에 비어 있는 부분이 남아 있다면 7×3은 사다리꼴 전체의 넓이를 나타내지 않는다. 질문에 답할 때 학생이 그림에서 평행한 두 변과 수직 높이를 직접 짚는지도 함께 살핀다.

뒤집은 복사본으로 빠진 부분을 채워 바른 식 만들기

교정할 때는 원래 사다리꼴과 크기와 모양이 같은 복사본을 하나 준비하고, 복사본을 뒤집어 원래 도형 옆에 붙인다. 두 도형의 높이는 각각 3cm이고, 한쪽의 윗변 4cm와 다른 쪽의 아랫변 7cm가 이어져 전체 밑변이 11cm가 된다. 이렇게 합친 도형은 밑변 11cm, 높이 3cm인 평행사변형이다. 사다리꼴 두 개가 빈 부분을 서로 채웠다는 표시를 남기면 윗변을 버린 것이 아니라 두 밑변을 함께 반영했다는 점을 확인할 수 있다.

합쳐진 평행사변형의 넓이는 11×3=33cm²이다. 같은 사다리꼴 두 개의 넓이가 33cm²이므로 원래 사다리꼴 하나의 넓이는 33÷2=16.5cm²이다. 따라서 바른 풀이는 (4+7)×3÷2=16.5cm²이다. 이 과정에서 높이 3cm는 비스듬한 변의 길이가 아니라 평행한 두 밑변 사이의 수직 거리라는 점도 수직 높이선으로 확인한다. 도움을 받은 뒤에는 학생이 이 표시를 보고 식을 말하고, 왜 2로 나누는지 설명하도록 한다.

순서를 바꾼 새 문제와 넓이 검산으로 연결하기

원래 문제의 풀이를 마친 뒤에는 먼저 검산한다. 두 복사본을 합친 넓이는 33cm²이고, 계산한 원래 넓이 16.5cm²의 두 배도 33cm²이다. 서로 다른 방식으로 구한 값이 연결되므로, 이 검산은 사다리꼴 두 개를 붙였을 때의 넓이와 원래 한 도형의 넓이 관계를 확인한다. 단순히 같은 식을 다시 쓰는 것이 아니라 복사본의 합과 비교하는 검산이다.

그다음 도움 없이 윗변과 아랫변의 순서를 바꾼 문제를 준다. 윗변을 7cm, 아랫변을 4cm, 높이를 3cm로 바꾸어도 두 평행한 변의 길이와 수직 높이를 대응하면 넓이는 16.5cm²로 유지된다. 학생이 처음부터 식이나 그림의 표시를 스스로 선택하게 하고, 어떤 방법을 택했는지 설명하게 한다. 이어 윗변 6cm, 아랫변 7cm, 높이 3cm인 문제에서는 (6+7)×3÷2=19.5cm²가 된다. 조건이 달라졌을 때도 두 밑변을 더하고 높이를 곱한 뒤 2로 나누는 근거를 유지하는지 확인한다.

윗변이 아랫변보다 짧은 부분까지 모두 채워져 있니?

그림에서 빈 부분이 남아 있다면 아랫변 7cm와 높이 3cm만 곱한 직사각형으로 볼 수 없다. 같은 사다리꼴 둘을 뒤집어 붙이면 밑변 4+7=11cm, 높이 3cm인 평행사변형이 되고, 그 넓이는 33cm²이다. 따라서 원래 하나의 넓이는 33÷2=16.5cm²이다.

“7×3으로 계산”이라는 응답에서 무엇을 더 확인할까?

아랫변만 사용해 사다리꼴을 직사각형으로 처리했을 가능성을 확인한다. 답을 먼저 고치게 하기보다 뒤집은 사다리꼴 복사본을 옆에 붙여 빈 부분이 채워지는지 보게 하고, 합쳐진 밑변 11cm와 수직 높이 3cm를 읽게 한다. 그 표시를 근거로 윗변 4cm가 왜 필요한지 설명하는지 살핀다.

조건이 바뀌어도 같은 기준을 쓰는지 어떻게 확인할까?

윗변과 아랫변의 순서만 교환한 문제를 준다. 윗변 7cm, 아랫변 4cm, 높이 3cm에서도 두 밑변의 합은 11cm이므로 넓이는 16.5cm²이다. 순서가 바뀌어도 평행한 두 변을 모두 사용하고 수직 높이를 대응하는지 풀이와 그림에서 확인한다.

정답을 얻은 뒤에는 무엇을 확인할까?

두 복사본의 넓이 합 33cm²가 계산한 원래 넓이 16.5cm²의 두 배인지 확인한다. 이후 윗변 6cm, 아랫변 7cm, 높이 3cm로 바꾸면 (6+7)×3÷2=19.5cm²이다. 새 정답은 밑변 조건이 달라진 근거를 식과 수직 높이 표시로 설명할 때 타당하다.