효자지구 고3수학과외

정답에서 거꾸로 올라가 찾은 이항정리의 첫 갈림길

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(2x-1)⁵의 전개식에서 x³의 계수를 구하여라.

학생의 풀이에는 마지막 계산인 10×4=40이 정확히 적혀 있었다. 그런데 해설의 답과 맞지 않았다. 처음에는 곱셈이나 부호를 의심했지만, 풀이를 끝에서부터 되짚자 다른 문제가 보였다. 이항정리에서 뒤 계산이 맞더라도, 어떤 항을 선택했는지가 틀리면 전체 결론이 달라진다.

계수 40에 이르기 전, 무엇을 골랐는가

학생은 중간식 한 줄을 가린 뒤 자신의 풀이를 다시 재구성했다. 처음에는 “x³을 만들려면 x를 3번 고르면 되므로 \({5\choose3}2³\)”이라고 적었다. 이 계산은 x를 세 번 선택하고 나머지 두 자리에서 -1을 선택한 항을 뜻하지 않는다. 실제로 x의 지수가 3이 되려면 다섯 인수 중 x를 세 번, -1을 두 번 골라야 한다.

따라서 일반항을 먼저 쓰면

{5\choose r}(2x)^{5-r}(-1)^r

이고, x의 지수가 3이 되려면 \(5-r=3\), 즉 \(r=2\)이다. 해당 항은

{5\choose2}(2x)³(-1)²=10×8x³=80x³

이다. 학생은 조합계수 자체를 잘못 계산한 것이 아니라, x의 지수와 선택한 횟수를 같은 것으로 처리한 데서 처음 어긋났다. 뒤의 산술보다 앞선 선택조건이 최초 오류였다. 이항정리의 경우수 오류를 추적할 때는 마지막 숫자부터 고치는 것이 아니라, 그 숫자가 어느 선택에서 나왔는지 먼저 확인해야 한다.

첫 식 옆에 선택조건을 고정하다

교정은 한 줄에만 적용했다. 일반항을 적은 직후에 “x의 지수 \(=5-r\)”라고 표시하고, 목표 지수 3을 대입해 \(r=2\)를 정했다. 이어 조합계수와 각 인수의 값을 분리해

• 선택 경우의 수: \({5\choose2}\)
• 계수의 크기: \(2³\)
• 부호: \((-1)²\), 양수

로 나누어 기록했다. 수정 범위는 경우수 판단까지로 제한했다. 식 전체를 다시 전개하지 않고도 최초 오류 한 줄을 고치면 이후 계산이 회복되는지 확인할 수 있었다.

표현을 바꾼 독립 문제

같은 식의 숫자만 바꾸지 않고, 이번에는 결론을 먼저 제시한 역문제를 사용했다.

(x+2)⁶에서 x²의 계수가 240이라고 할 때, 이 계수가 만들어지는 선택을 설명하여라.

학생은 처음부터 전개하지 않고 일반항 \({6\choose r}x^{6-r}2^r\)를 세웠다. x²이므로 \(6-r=2\), 따라서 \(r=4\)라고 적었다. 그 결과는

{6\choose4}2⁴=15×16=240

이다. 이번에는 조합계수 15와 상수항을 고르는 네 번의 선택을 분리해 설명했다. 앞 문제처럼 x를 고른 횟수와 목표 지수를 바로 같게 두지 않았고, 부호가 없는 식에서도 먼저 지수 조건을 세운 뒤 경우수를 정했다.

또 다른 변형에서는 \((1-3x)^4\)의 x² 계수를 묻고, 계산 전에 예상 부호를 적게 했다. x²을 만들려면 \((-3x)\)를 두 번 골라야 하므로 부호는 양수이고, 실제 계수는 \({4\choose2}(-3)²=54\)이다. 부호를 먼저 예상하면 선택 횟수를 한 번 잘못 세었을 때도 결과를 의심할 단서가 생긴다.

힌트 없이 남은 판단

다음 날에는 오답 풀이가 섞인 문제를 제시했다.

(3x+1)⁷에서 x⁵의 계수에 대한 풀이 중 최초로 고쳐야 할 부분을 찾아라.

학생은 답을 계산하기 전에 일반항을 세우고 \(7-r=5\)를 적었다. 이어 \(r=2\)이므로 조합계수는 \({7\choose2}\), x의 계수는 \(3⁵\), 상수항은 \(1²\)라고 분리했다. 만약 누군가 \({7\choose5}3⁵\)라고 썼다면 조합값은 같아 보여도, “x를 다섯 번 선택한다”는 설명과 일반항의 \(r\) 정의가 맞지 않는다고 지적했다. 마지막에는 만든 항의 x 지수가 실제로 5인지 다시 대입해 확인했다.

이 검증에서 학생은 전체 전개를 반복하지 않고 위험한 한 줄, 즉 목표 지수와 선택 횟수를 연결하는 식만 점검했다. 새로운 계수와 지수가 주어져도 선택조건을 먼저 세우고, 경우의 수·계수·부호를 나누어 기록하는 행동이 스스로 유지되었다.