효자지구 고1수학과외







효자지구 고1수학과외: 합성함수에서 중간값의 역할을 놓친 사례
문제는 \(f(x)=2x+1\), \(g(x)=x^2\)일 때 \((g\circ f)(x)\)를 구하는 것이었다. 학생은 \(f(x)\)와 \(g(x)\)를 각각 계산한 뒤 식을 더하는 방식으로 접근했다. 합성함수의 기호가 두 함수의 연산이 아니라 입력값의 이동 순서를 나타낸다는 점에서 막힌 것이다.
괄호 안의 값이 다음 함수의 입력이 되도록 바꾸기
합성함수에서는 오른쪽 함수의 결과가 왼쪽 함수에 다시 들어간다.
\((g\circ f)(x)=g(f(x))\)
따라서 먼저 \(f(x)=2x+1\)을 구하고, 그 결과 전체를 \(g\)의 입력으로 넣는다.
\[ g(f(x))=g(2x+1)=(2x+1)^2 \]
학생은 중간값 \(2x+1\)을 별도의 입력으로 표시한 뒤, \(g(t)=t^2\)에서 \(t\) 자리에 \(2x+1\) 전체를 대입했다. 이를 전개하면 \(4x^2+4x+1\)이다.
문장으로 바뀐 합성함수에도 같은 순서 적용하기
이번에는 \(f\)가 “입력에 3을 더하는 함수”, \(g\)가 “그 결과를 세제곱하는 함수”라고 표현된 문제를 적용했다. \(g\circ f\)는 먼저 3을 더한 뒤 그 값을 세제곱하므로
\[ (g\circ f)(x)=(x+3)^3 \]
반대로 \(f\circ g\)라면 먼저 세제곱한 뒤 3을 더해 \(x^3+3\)이 된다. 숫자만 바뀐 문제가 아니라 함수의 적용 순서를 문장으로 해석하는 연습이었다.
순서를 뒤집었을 때 결과가 달라지는지 확인
마지막에는 \(x=1\)을 넣어 두 합성함수를 비교했다.
- \((g\circ f)(1)=(1+3)^3=64\)
- \((f\circ g)(1)=1^3+3=4\)
두 값이 다르므로 합성함수에서는 기호의 순서를 바꾸어 계산할 수 없다는 점까지 확인했다.
결석한 수업을 보완할 때
빠진 날짜의 교과서 범위와 배부 자료부터 확인해 보세요. 다른 학생의 필기만 옮기면 어떤 설명이 생략됐는지 알기 어렵습니다. 자료를 읽은 뒤 이해되지 않는 예제와 새로 등장한 표현을 표시하면 놓친 단원을 보완할 때 우선 확인할 내용을 정할 수 있습니다.
수업 횟수를 정하기 전에 확인할 것
가능한 요일뿐 아니라 수업 사이에 혼자 공부할 수 있는 시간을 함께 살펴보세요. 복습할 여유 없이 횟수만 늘리는 계획이 적절한지는 학생의 현재 일정에 따라 달라집니다. 실제 수업 방식과 시간, 비용은 상담에서 확인하고 확인되지 않은 조건을 전제로 계획하지 않는 것이 좋습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
고1 점검 기준
현재 공통 과목의 진도와 첫 내신 답안을 기준으로 설명할 수 있는 개념과 적용이 어려운 부분을 구분합니다.
수업 진행 예시
식의 변형을 다시 확인하기
x² + 5x + 6을 (x + 2)(x + 3)으로 인수분해한 뒤 직접 전개해 원래 식이 되는지 확인합니다. 방정식으로 풀 때와 단순히 식을 변형할 때의 목적도 구분합니다.
조건 때문에 제외되는 값 찾기
분모가 x − 2인 식에서는 x = 2를 사용할 수 없습니다. 풀이에서 얻은 후보가 처음 조건에 맞는지 확인하고, 약분이나 식의 변형 뒤에도 처음의 제한 조건을 남깁니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
수업 진행 안내
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| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
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