효자지구 고2수학과외







첨자 치환에서 시작·끝을 함께 옮기는 이유
효자지구과외 수업에서 다음 풀이 기록을 먼저 살펴보자.
| 문항 | 학생의 풀이 |
|---|---|
| \(\displaystyle \sum_{k=2}^{6}(2k+1)\)을 \(j=k+1\)로 바꾸어 나타내시오. | \(j=k+1\)이므로 \(k=j-1\). 따라서 \(\displaystyle \sum_{j=2}^{6}\{2(j-1)+1\}\) |
오류가 생긴 지점
일반항은 \(2(j-1)+1\)로 바르게 바꾸었지만, 첨자의 범위를 그대로 \(2\)부터 \(6\)까지 두었다. \(j=k+1\)이면 첨자의 시작과 끝도 함께 변해야 한다.
원래 \(k=2\)일 때 \(j=3\), \(k=6\)일 때 \(j=7\)이다. 그러므로 정확한 식은
\[ \sum_{k=2}^{6}(2k+1) = \sum_{j=3}^{7}\{2(j-1)+1\} = \sum_{j=3}^{7}(2j-1) \]
한 항씩 대응시켜 확인하기
첨자 치환은 기호만 바꾸는 작업이 아니라, 각 항에 대응하는 새로운 첨자를 정하는 과정이다.
| 기존 \(k\) | 새 첨자 \(j=k+1\) | 항 |
|---|---|---|
| 2 | 3 | 5 |
| 3 | 4 | 7 |
| 4 | 5 | 9 |
| 5 | 6 | 11 |
| 6 | 7 | 13 |
따라서 두 표현은 모두 \(5+7+9+11+13\)을 나타낸다.
일반적인 치환 공식
\[ j=k+c \]
라고 하면 \(k=a\)에서 \(j=a+c\), \(k=b\)에서 \(j=b+c\)가 된다. 따라서
\[ \sum_{k=a}^{b}f(k) = \sum_{j=a+c}^{b+c}f(j-c) \]
이다. 특히 \(j=k+1\)이면
\[ \sum_{k=a}^{b}f(k) = \sum_{j=a+1}^{b+1}f(j-1) \]
로 바뀐다.
변형 문항으로 최종 검증
새 문항
다음 등식의 빈칸을 채워라.
\[ \sum_{k=1}^{n}(k^2+3k) = \sum_{r=\Box}^{\Box}\bigl((r-2)^2+3(r-2)\bigr) \]
치환 \(r=k+2\)를 사용하므로 \(k=1\)일 때 \(r=3\), \(k=n\)일 때 \(r=n+2\)이다. 따라서
\[ \sum_{k=1}^{n}(k^2+3k) = \sum_{r=3}^{n+2}\bigl((r-2)^2+3(r-2)\bigr) \]
독립 검산
\(n=3\)을 대입하면 왼쪽은
\[ (1^2+3\cdot1)+(2^2+3\cdot2)+(3^2+3\cdot3) =4+10+18=32 \]
오른쪽은 \(r=3,4,5\)에 대해 각각 \(4,10,18\)이므로 역시 \(32\)이다. 첨자를 바꿀 때는 일반항뿐 아니라 시작값과 끝값까지 같은 규칙으로 이동해야 한다.