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효자지구 고2수학과외

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첨자 치환에서 시작·끝을 함께 옮기는 이유

효자지구과외 수업에서 다음 풀이 기록을 먼저 살펴보자.

문항학생의 풀이
\(\displaystyle \sum_{k=2}^{6}(2k+1)\)을 \(j=k+1\)로 바꾸어 나타내시오. \(j=k+1\)이므로 \(k=j-1\). 따라서 \(\displaystyle \sum_{j=2}^{6}\{2(j-1)+1\}\)

오류가 생긴 지점

일반항은 \(2(j-1)+1\)로 바르게 바꾸었지만, 첨자의 범위를 그대로 \(2\)부터 \(6\)까지 두었다. \(j=k+1\)이면 첨자의 시작과 끝도 함께 변해야 한다.

원래 \(k=2\)일 때 \(j=3\), \(k=6\)일 때 \(j=7\)이다. 그러므로 정확한 식은

\[ \sum_{k=2}^{6}(2k+1) = \sum_{j=3}^{7}\{2(j-1)+1\} = \sum_{j=3}^{7}(2j-1) \]

한 항씩 대응시켜 확인하기

첨자 치환은 기호만 바꾸는 작업이 아니라, 각 항에 대응하는 새로운 첨자를 정하는 과정이다.

기존 \(k\)새 첨자 \(j=k+1\)
235
347
459
5611
6713

따라서 두 표현은 모두 \(5+7+9+11+13\)을 나타낸다.

일반적인 치환 공식

\[ j=k+c \]

라고 하면 \(k=a\)에서 \(j=a+c\), \(k=b\)에서 \(j=b+c\)가 된다. 따라서

\[ \sum_{k=a}^{b}f(k) = \sum_{j=a+c}^{b+c}f(j-c) \]

이다. 특히 \(j=k+1\)이면

\[ \sum_{k=a}^{b}f(k) = \sum_{j=a+1}^{b+1}f(j-1) \]

로 바뀐다.

변형 문항으로 최종 검증

새 문항

다음 등식의 빈칸을 채워라.

\[ \sum_{k=1}^{n}(k^2+3k) = \sum_{r=\Box}^{\Box}\bigl((r-2)^2+3(r-2)\bigr) \]

치환 \(r=k+2\)를 사용하므로 \(k=1\)일 때 \(r=3\), \(k=n\)일 때 \(r=n+2\)이다. 따라서

\[ \sum_{k=1}^{n}(k^2+3k) = \sum_{r=3}^{n+2}\bigl((r-2)^2+3(r-2)\bigr) \]

독립 검산

\(n=3\)을 대입하면 왼쪽은

\[ (1^2+3\cdot1)+(2^2+3\cdot2)+(3^2+3\cdot3) =4+10+18=32 \]

오른쪽은 \(r=3,4,5\)에 대해 각각 \(4,10,18\)이므로 역시 \(32\)이다. 첨자를 바꿀 때는 일반항뿐 아니라 시작값과 끝값까지 같은 규칙으로 이동해야 한다.

효자지구 고2수학과외 학부모 후기

책과 프린트를 치우던 중에 아이가 확률 문제 옆에 작은 표를 그려 경우를 나누고 있더라고요. 답만 적어 둔 줄 알았는데, 같은 경우가 겹치는지 하나씩 살펴보면서 필요한 것만 남기는 모습이 눈에 띄었어요. 예예전에는 풀이 과정에 맞았는지 틀렸는지만 간단히 표시해 두는 편이었거든요. 효자지구 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면을 본 적은 없어서 의외로 눈에 들어왔어요. 방학 오전에 다른 교재를 펼쳤을 때도 비슷한 확률 문제가 나오자 곧바로 표부터 만들었습니다. 경우를 나눈 뒤 겹치는 항목은 지우고, 끝까지 남겨야 할 흔적만 문제 옆에 정리해 두었어요. 두 문제에서 같은 방식으로 확인한 자리가 달라 보였습니다.

★★★★☆학부모 후기

오답 파일을 정리하던 토요일에 아이가 확률 문제 한 장을 붙잡고 있더라고요. 답지를 먼저 펼칠 줄 알았는데, 가능한 경우를 하나씩 작은 표로 나눠 적은 뒤 겹치는 경우에는 줄을 그어 지우고 있더라고요. 예예전에는 틀린 문제를 다시 볼 때도 처음 풀었던 순서만 그대로 따라가곤 했거든요. 효자지구 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 장면이 인상적이었는데, 특별히 수학 문제를 풀 때만 그런 건 아니었어요. 새로운 문법 문제를 풀던 날에도 경우를 작은 칸처럼 나눠 보면서 겹치는 부분을 직접 없애더라고요. 문제 종류는 달랐지만 한꺼번에 넘기지 않고 나눠 확인하는 모습은 같았습니다. 끝까지 전부 붙들고 있기보다는 다시 볼 곳 하나를 정해 둔 다음, 이미 확인한 나머지는 옆으로 정리해 두었어요. 예전처럼 처음부터 다시 훑는 대신, 겹친 경우를 지운 표에서 남은 부분만 골라 보고 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

방학 계획을 세우며 효자지구 수학 과외를 시작했지만, 예전에는 복습보다 다음 진도에만 마음이 앞섰습니다. 선생님은 시간을 재촉하지 않고 천천히 풀게 하면서 잘한 점과 계속 유지할 부분을 구체적으로 짚어 주셨고, 이제는 모르는 내용을 숨기지 않고 편하게 말하게 됐습니다.

★★★★★학부모 후기

방학 공부 계획을 세우며 효자지구 수학과외를 시작했지만, 아이는 그날 기분에 따라 공부량이 달라 시험 전에도 새 문제만 급하게 풀곤 했습니다. 선생님은 수업 초반 잘한 부분부터 짚어 주고, 부담스럽지 않게 복습과 계획을 이어 가도록 도왔습니다. 이제는 모르는 내용을 숨기지 않고 천천히 다시 풀어 보는 모습이 보여 학부모로서 든든합니다.

★★★★★학부모 후기

효자지구에서 수학 과외를 시작한 뒤 숙제 검사를 받을 때 정답만 급하게 확인하던 습관이 조금씩 달라졌습니다. 선생님은 맞힌 문제도 제 말로 다시 설명하게 하고, 막힌 부분은 질문을 준비해 오도록 차분히 기다려 주셨습니다. 시험 전에는 새 진도보다 부족한 내용을 함께 복습해 틀린 뒤에도 금방 다시 문제를 풀게 됐습니다.

★★★★☆학부모 후기