파동 고3수학과외

식의 모양이 바뀌었을 때 로그부등식을 다시 읽는 법

대구광역시립수성도서관 인근에서 진행한 대구고3수학과외 학습에서, 학생은 로그부등식 기출문제의 해설을 가린 채 풀이 흔적만 남겨 두고 자신의 첫 판단과 해설의 계산이 갈라진 지점을 찾고 있었다. 식을 보지 않고도 유형을 맞히려는 대신, 식·그래프·표가 서로 어떤 정보를 공유하는지 연결하는 활동이었다.

앞 문제의 순서를 그대로 옮긴 순간

문제는 밑이 2인 로그부등식 log₂(x-1) > 1이었다. 학생은 먼저 로그를 없애고 x-1>2를 적으려 했다. 이 계산 자체는 맞지만, 그 앞에 정의조건 x-1>0을 쓰지 않았다. 앞에서 풀었던 문제의 순서를 기억해 ‘로그를 같은 밑의 지수식으로 바꾸는 단계’부터 복사한 것이 최초의 어긋남이었다.

더구나 해설이 가려진 다른 문항에서는 밑이 1/2인 log_1/2(x+2) ≤ -1이 제시되어 있었다. 학생은 밑이 2일 때처럼 부등호 방향을 유지하려 했고, 그래프에서 로그함수가 감소한다는 사실과 계산 결과가 충돌했다. 표현이 바뀌었는데도 이전 풀이의 순서를 그대로 적용한 셈이다.

표현이 달라도 남는 관계를 먼저 고정하기

풀이를 멈추고 두 줄을 나란히 적었다.

• 정의조건: 진수는 양수, 밑은 0보다 크고 1이 아님
• 함수관계: 밑이 1보다 크면 증가, 0과 1 사이면 감소

그 뒤 첫 문항은 x-1>0과 x-1>2를 함께 확인하여 해가 x>3임을 얻었다. 두 번째 문항은 x+2>0을 먼저 적고, 밑이 1/2이므로 부등호를 뒤집어 x+2≥2, 즉 x≥0으로 정리했다. 정의조건 x>-2와 비교해 최종 구간을 다시 남겼다. 핵심은 식을 바로 변형하는 것이 아니라, 두 표현에서 공통으로 유지되는 관계를 한 줄로 연결하는 것이었다.

대구고3수학과외 복습에서는 조건 하나를 빼면 어떤 반례가 생기는지도 확인했다. x+2≥2만 써서 x≥0을 얻더라도, 진수 조건을 확인하지 않는 습관은 밑이나 진수가 달라진 문항에서 오류를 만들 수 있다. 그래서 정의조건과 해구간을 같은 줄에 섞지 않고 별도 줄에 기록했다. 이런 식의 대구과외 수업 기록은 정답보다 오류가 시작된 줄을 추적하는 데 초점을 두었다.

표가 매개변수 조건으로 바뀌었을 때

며칠 뒤에는 식 대신 다음 표가 주어졌다.

밑의 범위	함수의 변화
a>1	증가
0<a<1	감소

문항은 log_a(x-2) > 0의 해가 x>3이 되도록 하는 a의 조건을 묻고 있었다. 숫자만 바꾼 문제가 아니므로 학생은 앞 풀이를 외워 적용할 수 없었다. 먼저 진수 조건 x>2를 적고, log_a1=0이라는 기준점을 표시했다. a>1이면 x-2>1이어서 x>3이고, 0<a<1이면 x-2<1이므로 2<x<3이 된다. 따라서 요구한 해구간을 만드는 조건은 a>1이었다.

이어 정수조건을 추가한 변형에서는 log_a(n-2) ≥ 0의 정수해가 n≥5가 되도록 묻었다. 학생은 n-2의 정의조건 n>2와 밑의 범위를 먼저 분리하고, 기준값 1과 비교했다. n≥5가 되려면 n-2≥1이어야 하므로 증가함수인 a>1이어야 한다는 판단을 스스로 복원했다.

힌트 없는 실전 세트에서 남은 습관

주말 100분 실전세트에서는 식·그래프·표가 섞인 로그부등식 문항을 별도 표시 없이 풀게 했다. 학생은 문제를 읽은 직후 ‘진수 양수’와 ‘밑의 범위’를 적고, 밑이 1보다 큰지 작은지에 따라 부등호 방향을 결정했다. 풀이가 끝난 뒤에는 원래 식에 경계값을 넣었다. 예를 들어 해가 x≥0이라면 x=0을 대입해 등호가 성립하는지, x<0인 값은 정의조건이나 부등식에 맞지 않는지 확인했다.

마지막 재풀이에서는 다음 단계를 가린 채 풀이를 세 줄로 압축했다. 첫째 정의조건, 둘째 밑에 따른 함수관계, 셋째 변형한 해와 원래 조건의 교집합이다. 표현이 식에서 그래프로 바뀌고 매개변수가 추가되어도 이 세 줄이 먼저 나오는지 확인함으로써, 학생은 앞 문제의 순서를 복사하는 대신 새로운 조건에서 관계를 다시 세우는 판단을 유지했다.