파동 고등수학과외

대구 수성구에서 고등수학과외를 진행할 때 학생들이 자주 멈추는 부분은 계산량보다 부호 변화 구간을 판단하는 조건이다. 대구과학고등학교와 덕원고등학교를 준비하는 학생도 절댓값 부등식을 이차부등식으로 바꾼 뒤, 왜 두 근 사이를 선택하는지 설명하지 못하는 경우가 있다. 만촌우방타운과 대구광역시립수성도서관 인근 학습 장면에서도 비슷한 모습이 나타난다.

두 근을 구한 뒤 바로 답을 쓰지 않는 이유

문제는 |x-10|<13이다. 학생은 절댓값을 제거하며 -13<x-10<13이라고 적고, 양변에 10을 더해 -3<x<23을 얻을 수 있다. 여기까지는 정확하다. 그러나 이차부등식의 부호 변화 구간을 연습하던 학생은 같은 식을 제곱해 (x-10)²<169, 다시 (x-23)(x+3)<0으로 바꾼 뒤 멈췄다.

학생의 첫 오류는 계산이 아니라 중간 결론의 근거를 지운 순간에 생겼다. 노트에는 “근은 -3, 23”이라고만 남아 있었고, 두 인수가 곱해져 음수가 되는 조건이나 최고차항의 부호는 적혀 있지 않았다. 이어서 부호표를 그리면서 바깥 구간을 음수로 표시하려 했다. 두 근 사이에서 인수의 부호가 서로 달라 곱이 음수가 된다는 확인이 빠졌기 때문이다.

첫 어긋남만 되돌려 고치기

전체 풀이를 처음부터 다시 베끼게 하지 않고, 누락된 한 줄만 복원한다. (x-23)(x+3)의 두 근은 -3과 23이고 최고차항 계수는 양수다. 따라서 수직선의 세 구간에서 부호는 +, −, +로 바뀐다. 곱이 0보다 작다는 조건은 가운데 구간만 허용하므로 -3<x<23이다. 이때 근 자체는 포함되지 않는다. 원래 부등식도 절댓값이 13보다 작다는 뜻이므로 양 끝값에서 등호가 성립하지 않는다는 점이 같은 결론을 뒷받침한다.

근을 구한 사실과 해 구간을 선택한 이유는 서로 다른 기록이다. 부호표에서는 최고차항의 부호와 부등호 방향을 함께 남긴다.

조건을 바꾼 문제에서 혼자 선택하기

다음에는 앞 문제의 풀이를 덮고 |x-4|>6을 제시한다. 학생은 이를 (x-4)²>36, 즉 (x-10)(x+2)>0으로 바꾼다. 근은 -2와 10이고 최고차항 계수는 양수이므로 곱이 양수가 되는 바깥 구간을 택해야 한다. 따라서 해는 x<-2 또는 x>10이다. 앞 문제와 숫자만 달라진 것이 아니라 부등호가 바뀌어 선택할 구간도 달라졌다는 점을 스스로 설명하게 한다.

같은 유형을 다시 풀게 할 때도 “두 근 사이”라는 문장을 외우게 하지 않는다. 최고차항이 음수인 식이나 부등호가 반대인 식을 만나면 표의 부호가 어떻게 달라지는지 먼저 확인하게 한다. 예를 들어 -(x-1)(x-5)<0에서는 원래 곱이 양수인 구간이 필요하므로 바깥이 아니라 두 근 사이를 고른다. 구간 선택은 근의 위치만으로 결정되지 않는다.

부호표와 포물선으로 끝까지 검산하기

독립 풀이가 끝난 뒤에는 부호표와 그래프를 겹쳐 본다. y=(x-23)(x+3)의 그래프는 위로 열린 포물선이며 x축과 -3, 23에서 만난다. 포물선은 두 근 바깥에서 x축 위에 있고, 두 근 사이에서 x축 아래에 있다. 따라서 y<0의 해가 -3과 23 사이로 나온 부호표와 일치한다.

절댓값 식에 다시 대입하는 검산도 실시한다. x=0이면 |0-10|=10으로 13보다 작고, x=20이면 10으로 조건을 만족한다. 반면 x=-4에서는 14, x=24에서도 14가 되어 제외된다. x=-3과 x=23에서는 절댓값이 각각 13이므로 열린 구간이라는 판단도 확인된다.

자주 묻는 질문

• 절댓값 부등식은 반드시 제곱해야 하나요?
  아니다. |x-10|<13은 -13<x-10<13으로 바로 풀 수 있다. 제곱 방식은 이차부등식의 부호 판단을 연습할 때 유용하다.
• 두 근만 구하면 답을 알 수 있나요?
  근은 경계만 알려 준다. 최고차항의 부호와 부등호 방향을 확인해야 안쪽인지 바깥쪽인지 결정할 수 있다.
• 끝점은 언제 포함하나요?
  ≤ 또는 ≥이면 해당 식이 0이 되는 근을 포함할 수 있다. <, >에서는 근을 제외한다.
• 그래프 검산은 꼭 해야 하나요?
  필수 절차는 아니지만, 부호표에서 선택한 구간이 포물선의 위·아래 위치와 맞는지 빠르게 확인할 수 있다.