파동 고1수학과외
파동 고1수학과외, 명제의 방향을 놓치지 않는 연습
시간 제한이 있는 명제 문제에서 함지원 학생은 집합 기호가 포함된 조건을 읽다가 특수한 경우를 전체 상황처럼 일반화했다. 서로 다른 조건을 같은 의미로 묶으면서 중복된 경우를 세었고, 답은 그럴듯했지만 명제의 참·거짓을 판단하는 근거가 약했다.
화살표 방향을 먼저 세운 순간
풀이를 시작하기 전에 조건을 입력과 출력의 화살표로 바꾸어 적었다. “p이면 q이다”와 “q이면 p이다”는 방향이 다르다는 점을 표시하자, 두 조건이 동치인지 단순한 포함 관계인지 구분할 수 있었다. 이후에는 한 방향이 성립한다고 해서 역방향까지 성립한다고 단정하지 않도록 했다.
p → q가 맞아도 q → p까지 자동으로 맞는 것은 아니다.
예를 들어 실수 x에 대해 p를 x>1, q를 x²>1로 두면 p이면 q는 성립한다. 그러나 x=-2에서는 q가 참이고 p가 거짓이므로 역방향은 성립하지 않는다. 이 반례 하나로 두 조건을 같은 명제로 처리했던 오류를 바로잡았다.
조건의 표현을 바꾸어 이어 간 적용
다음 문제에서는 조건을 식이 아니라 문장으로 제시했다. “어떤 실수의 제곱이 1보다 크면 그 실수는 1보다 크다”라는 문장을 읽고, 학생은 먼저 전제와 결론의 위치를 나누었다. 이번에는 정의역을 양의 실수로 제한했을 때 결론이 달라지는지도 살피며, 조건의 내용뿐 아니라 적용 범위도 함께 확인했다.
새 문항에서 참·거짓을 판정한 방법
마지막에는 주어진 명제를 부정했을 때 어떤 값이 필요한지 찾아 보편 명제의 성립 여부를 확인했다. 반례가 하나라도 존재하면 명제가 거짓이라는 기준을 적용하자, 계산을 많이 하지 않고도 경계 상황과 역방향 오류를 구별할 수 있었다. 파동 생활권의 학습 공간에서 진행한 짧은 훈련에서도 답보다 명제의 방향과 조건 범위를 먼저 판단하는 습관이 남았다.