지산동 중3수학과외

지산동 중3수학과외에서 확인한 전개식의 첫 갈림길

지산5단지와 대구광역시립수성도서관 인근 생활권에서 중3수학과외를 진행하다 보면, 다항식의 곱셈 문제를 끝까지 계산한 뒤 정답만 고치려는 경우가 있습니다. 이번에는 능인중학교와 지산중학교가 포함된 생활권의 한 학생이 작성한 풀이를 채점 직후 거꾸로 확인했습니다. 핵심은 계산 속도가 아니라 단항식을 다항식의 각 항에 빠짐없이 곱하는지였습니다.

답에서 거꾸로 읽은 풀이

문제는 다음과 같았습니다.

계산하여 간단히 하시오. -3x(2x²-x+4)

학생의 풀이 기록은 아래와 같았습니다.

• -3x×2x²=-6x³
• -3x×(-x)=3x²
• -3x×4=12x
• 따라서 -6x³+3x²+12x

마지막 항의 부호가 틀렸지만, 처음부터 “계산 실수”라고 표시하지 않았습니다. 채점된 정답과 풀이를 뒤에서부터 비교하면서 먼저 확인한 것은 괄호 안의 각 항, 단항식의 계수 -3, 그리고 곱셈 뒤의 부호였습니다. 두 번째 줄까지는 -3x와 -x를 곱해 3x²를 얻었으므로 맞았습니다. 세 번째 줄에서 -3x와 4를 곱하면서 부호를 확인하지 않고 12x라고 적은 것이 결과가 어긋난 최초 지점이었습니다.

한 항을 건너뛰지 않는 방식으로 바로잡기

이때 풀이 전체를 다시 지우게 하지 않고, 최초 오류와 직접 연결된 행동 하나만 바꾸었습니다. 괄호 안 항을 먼저 세로로 표시하고, 각 항마다 곱셈을 한 줄씩 남기는 방법입니다.

-3x(2x²-x+4)
=(-3x)(2x²)+(-3x)(-x)+(-3x)(4)
=-6x³+3x²-12x

학생이 이미 맞게 계산한 첫째 항과 둘째 항은 그대로 두고, 빠뜨렸던 부호만 다시 확인했습니다. 특히 마지막 곱은 양수 4에 음수 -3x를 곱하므로 -12x입니다. 분배법칙에서는 괄호 안의 항 수만큼 곱셈 결과가 생겨야 하며, 각 결과의 부호도 원래 두 인수의 부호에서 결정됩니다.

이후 지산동과외 수업에서는 정답을 먼저 보지 않고, 완성된 풀이의 각 줄 왼쪽에 괄호 안 항을 하나씩 대응시켰습니다. -3x가 2x², -x, 4와 모두 곱해졌는지 확인하자, 어디에서 판단이 달라졌는지를 계산 뒤가 아니라 전개 과정에서 설명할 수 있었습니다.

모양을 바꾼 문제에서 같은 기준 적용하기

다음에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 식의 구조와 요구를 바꾸었습니다.

다음 풀이에서 처음 잘못된 줄을 찾아 바르게 고치시오.
2a(3a-5+2a²)
=6a²-10a+2a³

학생은 답을 바로 정리하지 않고 괄호 속 항을 먼저 세었습니다. 3a, -5, 2a² 세 항에 2a가 각각 곱해져야 하는데, 적힌 결과는

• 2a×3a=6a²
• 2a×(-5)=-10a
• 2a×2a²=4a³

가 되어야 한다고 말했습니다. 따라서 최초로 잘못된 줄은 마지막 항을 전개한 부분이며, 올바른 식은 다음과 같습니다.

2a(3a-5+2a²)=6a²-10a+4a³

이번 문제에서는 음수 부호를 놓친 것이 아니라 계수 2와 2를 곱하지 않은 점을 찾아냈습니다. 식의 순서가 달라도 “괄호 속 모든 항에 단항식을 한 번씩 곱한다”는 같은 기준만 유지한 것입니다.

힌트 없이 확인한 마지막 기록

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 제시했습니다.

계산하시오. -2y²(y-3+2y²)

학생은 먼저 괄호 안 세 항에 표시를 하고 다음과 같이 적었습니다.

(-2y²)y+(-2y²)(-3)+(-2y²)(2y²)
=-2y³+6y²-4y⁴

그 뒤 전개 전 식과 전개 후 식에 y=1을 각각 대입했습니다. 전개 전 값은 -2(1-3+2)=0이고, 전개 후 값도 -2+6-4=0이라고 설명했습니다. y=2를 다시 대입했을 때도 전개 전 값은 -8(2-3+8)=-56, 전개 후 값은 -32-? 식을 내림차순으로 쓰면 -4y⁴-2y³+6y²이므로 -64-16+24=-56으로 같았습니다.

학생은 마지막에 “항마다 곱한 뒤 부호와 계수를 확인하고, 대입한 값이 전후에 같아야 전개가 유지된다”고 스스로 정리했습니다. 이처럼 지산동중3수학과외에서는 다항식의 곱셈을 넓은 계산법으로 확장하지 않고, 분배법칙에 따른 항별 곱셈과 최초 오류 확인에 집중합니다.