지산동 중2수학과외
지산동 중2수학과외, 거듭제곱 계산에서 찾은 첫 오류
지산5단지와 대구광역시립수성도서관이 있는 생활권에서 진행한 중2수학과외에서 학생은 식의 계산 단원을 풀다가 다음 문제를 만났다.
(-23)2 ÷ (-2)4을 계산하시오.
학생은 먼저 안쪽의 거듭제곱을 계산해 (-23)2 = -26이라고 적었다. 이어서 분모의 (-2)4는 16으로 바꾸고, -64 ÷ 16 = -4라고 결론 냈다. 풀이 옆에는 “지수를 곱하고, 같은 밑이면 지수를 뺀다”라고 메모했지만, 중간 결과의 부호는 따로 표시하지 않았다.
오답을 거꾸로 읽어 확인한 분기점
학생은 답부터 다시 계산하지 않고 완성된 풀이의 마지막 줄에서 위로 올라갔다. -64 ÷ 16이라는 계산 자체는 맞았고, -26도 64의 부호를 잘못 붙인 결과였다. 더 위 줄을 확인하자 첫 번째 어긋남은 괄호 안의 음수 전체를 제곱하면서도 음수 부호를 일부 항처럼 남겨 둔 판단이었다.
문제의 (-23)2에서 바깥 지수 2는 괄호 전체에 적용된다. 따라서 먼저 거듭제곱의 지수를 곱해 23×2로 바꾸고, 괄호 전체가 짝수 번 곱해지므로 부호는 양수가 되어야 한다. 학생은 지수 곱하기는 선택했지만 괄호 전체에 적용되는 부호 판단을 빠뜨린 것이다.
한 줄만 바로잡아 다시 연결하기
이미 맞게 사용한 지수 계산은 그대로 두고, 첫 줄만 다음처럼 고쳤다.
(-23)2 = (-1×23)2 = (-1)2×23×2 = 26
그 뒤에는 26 ÷ (-2)4 = 64 ÷ 16 = 4가 된다. 학생은 결과만 바꾸지 않고, (-23)를 실제로 두 번 곱하면 음수 두 개가 만나 양수가 된다는 것도 옆에 적었다. 마지막으로 수정한 식을 원래 식에 대입해 분자는 4096, 분모는 16이므로 256이라는 다른 방식의 검산도 시도했다. 이 검산은 26을 64로 계산하는 과정에서 다시 혼동하지 않도록 각 거듭제곱을 따로 확인한 장면이었다.
표현이 바뀐 문제에서 같은 판단 세우기
다음 문제는 숫자만 바꾸지 않고 식의 모양을 바꾸어 제시했다.
다음 표의 빈칸을 채우고, 두 값이 같은지 설명하시오.
A = ((-3)2)3
B = (-3)2×3
학생은 A를 먼저 “괄호 전체를 세 번 곱하는 형태”라고 문장으로 바꾸었다. 이어서 (-3)2×3은 지수를 6으로 정리할 수 있으므로 두 식 모두 (-3)6이라고 적었다. 짝수 지수이므로 두 값은 모두 양수이며, A와 B는 각각 729라고 표에 기록했다.
이번에는 그래프나 다른 단원으로 옮기지 않고, 식과 문장 사이를 바꾸면서도 같은 판단을 유지했는지 확인했다. 특히 “바깥 지수는 안쪽 지수와 곱한다”는 말 뒤에 반드시 “괄호 전체의 부호도 함께 처리한다”를 덧붙였다.
힌트 없이 재현한 최종 검증
수업 끝에 학생에게 새 식을 제시하고 풀이 중간을 가렸다.
(-52)2 ÷ (-5)3
학생은 첫 줄에 “바깥 지수 2가 괄호 전체에 적용되므로 부호는 양수, 지수는 2×2=4”라고 스스로 적었다. 따라서 분자는 54=625, 분모는 -125이므로 답은 -5라고 계산했다. 이어 원래 식을 25×25 ÷ (-125)로 바꾸어도 -5가 나온다고 검산 근거를 설명했다.
지산동중2수학과외에서 확인한 변화는 답을 외운 것이 아니었다. 학생은 새 문제에서도 계산 전에 괄호 전체와 부호를 먼저 살피고, 거듭제곱을 전개한 뒤 같은 식을 다른 형태로 다시 확인했다.