지산동 고3수학과외
결론에서 거꾸로 찾은 로그부등식의 첫 판단
6월 모의평가 오답을 다시 펼친 학생은 정답지의 마지막 줄부터 풀이를 거슬러 올라갔다. 계산식 대부분은 맞았지만, 결론이 갑자기 x>4로 바뀐 줄에서 앞 단계와 연결되지 않았다. 그 줄에 표시를 남기고, 바로 앞의 비교식으로 돌아가 보니 로그의 밑 조건을 확인하지 않은 채 밑이 1보다 크다고 단정한 것이 최초의 어긋남이었다.
문제의 핵심 형태는 다음과 같았다.
0<a, a≠1일 때 loga(x-1) > loga3의 해를 구하여라.
학생은 처음에 두 로그의 진수만 비교해 x-1>3, 즉 x>4라고 적었다. 그러나 로그함수의 증가·감소는 밑에 따라 달라진다. a>1이면 x>4가 맞지만, 0<a<1이면 부등호가 뒤집혀 0<x-1<3, 곧 1<x<4가 된다. 최초 오류는 계산이 아니라 밑의 범위를 첫 식 옆에 남기지 않은 선택이었다.
오답의 끝에서 출발점을 복원하다
학생은 해설을 베껴 다시 쓰지 않고, 자신이 적은 x>4에서 어떤 전제가 필요했는지를 역으로 물었다. 이 결론이 나오려면 로그가 증가함수여야 하므로 a>1이라는 조건이 먼저 있어야 했다. 그런데 원문에는 0<a, a≠1만 주어져 있었다. 따라서 하나의 해로 밀어붙일 수 없고, 밑의 범위를 두 경우로 나누어야 한다는 사실이 드러났다.
교정표에는 두 줄만 남겼다.
- 첫 줄: 0<a<1 또는 a>1을 밑 조건으로 분리한다.
- 둘째 줄: 밑이 1보다 큰지 작은지에 따라 부등호 방향을 결정한다.
그 뒤 진수 조건 x-1>0도 따로 적었다. 이 조건은 두 경우 모두 필요하므로, a>1에서는 x>4와 함께 정리하고 0<a<1에서는 1<x<4로 정리했다. 최초의 한 줄만 바로잡자 뒤 계산은 새로 뜯어고칠 필요 없이 회복되었다. 지산동과외에서 오답을 다룰 때도 이런 식으로 마지막 답부터 필요한 전제를 역추적하면, 단순 계산 실수와 첫 개념 선택의 오류를 구별할 수 있다.
표현 순서를 바꾼 변형에 적용
며칠 뒤에는 로그식이 먼저 주어지지 않고 함수의 관계로 제시된 문제를 풀었다.
f(x)=logax, 0<a≠1일 때 f(x-2)와 f(5)의 대소를 비교하라. 단, x>2이다.
학생은 이번에도 바로 x-2와 5를 비교하지 않았다. 먼저 밑의 범위를 확인하고, 함수가 증가하는 경우와 감소하는 경우를 나누었다. a>1이면 x-2>5, 따라서 x>7이고, 0<a<1이면 x-2<5와 x>2를 함께 사용해 2<x<7을 얻었다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 로그부등식이 함수값 비교의 형태로 바뀌었지만 밑 조건을 먼저 찾는 판단은 유지되었다.
또 다른 역문제에서는 “해가 2<x<7로 주어질 때 밑의 범위는?”이라고 물었다. 학생은 진수 조건 x>2를 먼저 확인한 뒤, 비교 방향이 반대였으므로 0<a<1이라고 설명했다. 결론에서 초기 조건을 복원하는 과정이 실제로 작동한 것이다. 오답 옆에는 지우개로 흔적을 없애지 않고, “밑이 감소함수라 방향 전환”이라고 이유를 남겼다.
새 수치에서 남은 판단 확인
9월 모의평가 기록을 비교할 때는 다음 식을 별도 힌트 없이 처리하게 했다.
logb(2x+1) ≤ logb9, 0<b<1.
학생은 첫 줄에 진수 조건 2x+1>0을 적어 x>-1/2을 확보했다. 이어 밑이 1보다 작으므로 부등호가 뒤집힌다는 근거를 쓰고 2x+1≥9, 즉 x≥4를 구했다. 마지막에는 x=4를 원래 식에 넣어 양변이 logb9로 같아지는지 확인했다. 해가 x≥4이면 진수 조건도 자동으로 만족한다는 점까지 역으로 점검했다.
직전 풀이를 외운 것이라면 밑이 바뀐 순간 같은 방향을 반복했을 것이다. 그러나 이번에는 밑의 범위를 첫 식에 표시하고, 결론에서 그 조건을 다시 추적했으며, 경계값을 원식에 대입했다. 로그부등식의 오류 위치를 찾는 기준이 숫자가 아니라 함수의 증가·감소 조건에 남아 있는지 확인한 장면이었다.