신매동 고등수학과외
신매동 고등수학과외에서는 시지고등학교 학생이 이차함수 그래프를 그릴 때 계산값만 맞히는 데서 멈추지 않고, 해집합의 연결 여부까지 설명하도록 연습합니다. 캐슬골드파크와 대구광역시립수성도서관 주변에서 만나는 학생들도 이차부등식을 풀 때 꼭짓점과 교점은 찾지만, 어느 구간이 실제 해인지 표시하는 순간 실수하는 경우가 있습니다.
그래프 풀이에서 먼저 확인할 것
학생에게 제시한 식은 x²-1276>2였습니다. 양변을 정리하면 x²>1278이므로 경계값은 x=±√1278입니다. 그래프에서는 y=x²-1276과 y=2를 함께 그립니다. 위로 열린 포물선이 수평선 y=2와 두 점에서 만나고, 포물선이 수평선보다 위에 있는 부분은 왼쪽과 오른쪽 바깥쪽입니다. 따라서 해는 x<-√1278 또는 x>√1278로 두 갈래가 됩니다.
그런데 학생은 풀이 첫 줄에 “근의 위치가 양쪽으로 나뉜다”고 적은 뒤, 그래프를 그리면서 두 구간을 하나의 긴 선분처럼 연결했습니다. 수직선에 표시한 두 경계 사이를 색칠하고, 바깥쪽은 제외한 것입니다. 계산 과정에서 부호를 틀린 것이 아니라, ‘두 근이 있다’는 사실과 ‘어느 쪽 영역이 그래프 위에 있는가’를 이어 붙이는 단계에서 오류가 시작된 장면입니다.
첫 오류를 눈에 보이게 되짚기
교사는 식을 다시 전개하게 하지 않고, 학생이 그린 그림에서 x=0의 위치를 가리키게 했습니다. x=0이면 왼쪽 식의 값은 -1276이고, 이는 2보다 작습니다. 그런데 학생이 칠한 가운데 구간에는 x=0이 포함되어 있었습니다. 이 한 점만 대입해도 가운데를 해로 잡은 그림이 식과 맞지 않는다는 사실이 드러납니다.
이후 포물선의 양 끝은 위로 올라가고 꼭짓점은 아래에 있다는 모양을 기준으로 수평선과의 높이를 비교했습니다. 교점 사이에서는 포물선이 y=2보다 낮고, 교점 바깥에서는 높습니다. 등호가 없으므로 두 교점은 열린 점으로 두며, 해집합이 중간에서 이어지지 않는다는 점도 함께 표시했습니다.
교점의 개수만으로 해의 모양을 정하지 말고, 각 구간에서 포물선이 기준선보다 위인지 아래인지 확인한다.
숫자를 바꾼 문제에서 혼자 판단하기
교정 직후에는 원래 식을 반복하지 않고 x²-24>1을 제시했습니다. 학생은 먼저 x²>25로 바꾸고 경계값 -5와 5를 구했습니다. 이번에는 그래프를 그리기 전에 꼭짓점이 y=-24에 있고 기준선은 y=1이므로 두 교점 바깥이 해라고 말했습니다. 수직선에는 -5와 5를 열린 점으로 표시한 뒤 양끝 방향으로 화살표를 그렸습니다.
문항의 길이를 늘려 계수와 상수가 섞인 형태로 바꾸어도 같은 판단을 할 수 있는지 확인했습니다. 숫자를 근삿값으로 바꾸거나 그래프의 눈금을 촘촘하게 그리는 것보다, 기준선 위에 있는 구간과 아래에 있는 구간을 나누어 읽는 절차를 혼자 말하게 했습니다.
마지막에는 반대되는 예로 검증하기
검증 단계에서는 비슷한 식을 다시 풀지 않고 x²-1276<2를 제시했습니다. 이번에는 포물선이 수평선 아래에 있는 두 교점 사이가 해이므로 -√1278<x<√1278이 됩니다. 앞의 부등식과 해의 방향이 반대로 바뀌는 것을 비교하면서, ‘바깥쪽’이라는 표현을 외운 것이 아니라 부등호와 그래프의 높이를 확인했는지 살폈습니다.
마지막으로 원래 해의 양끝 조건을 원식에 대입했습니다. x>√1278이면 x²>1278이므로 x²-1276>2가 성립하고, x=0은 성립하지 않습니다. 경계값에서는 양변이 같아져 엄격한 부등호에 포함되지 않습니다. 그래프, 특정값 대입, 경계값 확인이 같은 결론을 가리킬 때 풀이를 마무리했습니다.
자주 묻는 질문
근이 두 개면 해는 항상 두 구간인가요?
아닙니다. 부등호 방향과 포물선의 방향에 따라 가운데 구간이 해가 될 수도 있습니다.
경계값을 먼저 근삿값으로 바꿔도 되나요?
가능하지만 정확한 위치 판단에는 ±√1278처럼 근호 형태를 유지하는 편이 안전합니다.
그래프를 대략 그려도 괜찮나요?
꼭짓점, 기준선, 교점의 위아래 관계가 드러나면 됩니다. 단, 교점 사이와 바깥 구간을 구분해야 합니다.
왜 x=0을 대입했나요?
두 경계값 사이에 있는 대표적인 수라서, 가운데 구간을 해로 칠한 것이 맞는지 빠르게 확인할 수 있습니다.
등호가 포함되면 무엇이 달라지나요?
경계점에서 식이 같아지므로 해당 점을 닫힌 점으로 표시하고 해에 포함합니다.