고모동 중1수학과외

고모동 중1수학, 정수의 뺄셈을 덧셈으로 바꾸는 순간

고모동과외 수업에서 학생이 풀던 문제는 (-4)-(+7)이었다. 학생은 식을 보자마자 괄호를 지우고 “-4+7=3”이라고 적었다. 계산 과정만 보면 덧셈으로 바꾼 듯했지만, 뺄셈 뒤에 있는 수의 부호를 그대로 살펴보지 않은 채 숫자만 더한 것이 문제였다. 대구광역시립수성도서관 인근 생활권과 대구동중학교가 포함된 지역에서 중1 정수를 지도할 때 자주 확인하는 장면이기도 하다.

오답의 출발점을 한 줄씩 되짚기

학생의 식을 다시 펼쳐 보니 첫 판단은 “빼기는 뒤 수의 부호를 바꾸는 연산”이라는 원칙을 적용하지 않은 것이었다. 정수의 뺄셈은 앞 수에 뒤 수의 반대수를 더하는 형태로 바꿀 수 있다. 따라서 (-4)-(+7)은 (-4)+(-7)이 되어야 한다. 여기서 중요한 것은 7을 양수로 더하는 것이 아니라, 뺄셈을 당하는 수인 +7의 반대수 -7을 더하는 일이다.

학생과 함께 원래 식의 두 수에 색을 달리해 표시했다. 앞의 -4는 그대로 두고, 뒷부분의 -와 +7을 한 묶음으로 보았다. 그런 다음 “+7을 빼는 것은 -7을 더하는 것”이라고 식 아래에 적었다.

(-4)-(+7) = (-4)+(-7) = -11

부호가 같은 두 정수를 더할 때는 절댓값을 더하고, 수직선에서는 왼쪽으로 이동한다. -4에서 왼쪽으로 7칸 가면 -11이므로 결과의 위치도 확인할 수 있었다. 학생은 자신의 첫 답 3이 왜 어긋났는지 원래 식과 수직선 양쪽에서 비교했다. 3은 -4에서 오른쪽으로 7칸 간 위치이므로, +7을 더한 결과일 뿐 문제의 뺄셈을 나타내지 못했다.

경계에 있는 수를 만났을 때의 재판단

다음 문제는 (+6)-(-6)이었다. 학생은 앞에서 익힌 규칙을 적용해 (+6)+(+6)=12라고 썼다. 이번에는 계산 전에 뒷수의 부호를 먼저 동그라미로 표시했다. -6의 반대수는 +6이므로 식을 덧셈으로 바꾸는 과정은 맞았다.

다만 학생은 “음수를 빼면 항상 결과가 작아진다”고 말하려 했다. 이 문장을 그대로 두지 않고 수직선에서 출발점을 6으로 잡았다. -6을 빼는 것은 반대 방향인 +6만큼 이동하는 것이므로 오른쪽으로 6칸 이동한다. 결과 12는 계산뿐 아니라 수의 위치로도 설명되었다. 음수를 뺀다는 상황에서는 앞 수가 양수인지 음수인지보다, 실제로 뒤 수의 부호를 반대로 바꾸었는지가 먼저였다.

식이 아닌 온도와 분수로 바꿔 보기

같은 개념을 숫자식만으로 반복하지 않기 위해 문제의 표현을 온도표로 바꾸었다. 아침 기온이 -3도였는데 기온 변화가 “-5도”라고 기록된 경우, 현재 기온에서 변화량을 빼는 식을 세우도록 했다. 학생은 -3-(-5)를 적고, 뒤의 -5를 반대수 +5로 바꾸어 -3+(+5)=2라고 계산했다. 수직선에서는 -3에서 오른쪽으로 5칸 이동해 2에 도착한다고 설명했다.

이번에는 분수 표시가 포함된 표에서 1/2-(-1/2)를 골랐다. 학생은 분모가 같다는 점만 보고 바로 계산하지 않고, 먼저 “음수 1/2를 빼므로 양수 1/2를 더한다”고 문장으로 바꾸었다. 그 뒤 1/2+1/2=1을 적었다. 표현은 온도와 분수로 달라졌지만, 뺄셈을 뒤 수의 반대수를 더하는 덧셈으로 바꾸는 판단은 같았다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

수업 후 제시한 새 문제는 (-8)-(-3)이었다. 학생은 별도의 표시를 기다리지 않고 먼저 뒤의 -3을 확인한 뒤 반대수 +3을 적었다.

(-8)-(-3)=(-8)+(+3)=-5

학생은 “-3을 빼는 것은 수직선에서 오른쪽으로 3칸 가는 것이므로 -8에서 -5가 된다”고 풀이 이유를 설명했다. 이어 -5를 원래 식에 넣어 -8-(-3)=-5가 맞는지 확인했고, 식을 덧셈으로 바꾼 결과와 수직선의 위치가 모두 일치한다고 말했다. 고모동중1수학과외에서는 이처럼 답만 확인하지 않고, 뒤 수의 부호를 읽고 반대수로 바꾼 근거와 원래 식에 대한 검산까지 학생 스스로 재현하는지를 살핀다.