성화동 중3수학과외

성화중학교 생활권에서 살펴본 산점도의 상관 정도

성화동과외 수업에서 오답노트를 펼치자, 학생은 두 산점도를 비교하는 문제 옆에 다음과 같이 적어 두었습니다.

“①번이 점들이 대각선처럼 보여서 상관이 더 강하다. ②번은 위아래로 퍼져 있으므로 상관이 약하다.”

문제의 두 산점도는 공부 시간과 수학 점수의 관계를 나타낸 것이었습니다. ①번은 점들이 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 올라가지만 넓게 흩어져 있었고, ②번은 점들이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 비교적 가까이 모여 있었습니다. 그런데 학생은 ①번을 먼저 본 예제와 비슷하다고 느낀 뒤, 점 몇 개의 모양만 보고 ①번의 상관 정도가 더 크다고 판단했습니다.

답을 고르기 전에 빠진 확인

학생의 풀이 기록을 따라가 보니 축의 의미를 읽지 않은 채, ①번의 오른쪽 위 점 세 개에 동그라미를 치고 “상승 관계가 뚜렷함”이라고 썼습니다. 이어 ②번의 가운데에 몰린 점들을 보며 “특별한 방향 없음”이라고 표시했습니다. 이때 계산을 잘못한 것이 아니라, 전체 점의 분포를 보기 전에 겉모양과 일부 점으로 관계를 단정한 것이 첫 번째 어긋난 판단이었습니다.

산점도에서 상관의 정도를 비교할 때는 먼저 가로축과 세로축이 무엇을 나타내는지 확인해야 합니다. 그다음 특정 점 하나가 아니라 모든 점이 어느 방향으로, 얼마나 가까이 모여 있는지를 살펴봐야 합니다. 점들이 오른쪽 위로 향하더라도 넓게 퍼져 있으면 관계가 약할 수 있고, 오른쪽 아래로 향하더라도 일정한 흐름에 가깝게 모이면 상관이 강할 수 있습니다.

한 문장 기준으로 다시 읽기

학생에게 여러 풀이법을 한꺼번에 요구하지 않고, 잘못된 판단과 직접 연결되는 기준 하나만 정하게 했습니다.

“두 축을 확인한 뒤, 모든 점의 전체적인 흐름과 모임 정도를 비교한다.”

학생은 기존 표시 중 축의 이름을 먼저 적는 행동만 추가했습니다. ①번에서 가로축은 공부 시간, 세로축은 점수임을 확인한 뒤, 점 전체가 오른쪽 위로 향하지만 간격이 넓다는 점을 읽었습니다. ②번은 가로축이 공부 시간, 세로축이 점수인 것은 같았고, 점 전체가 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 흐르면서 한 줄에 더 가깝게 모여 있었습니다.

따라서 ①번은 양의 방향이지만 상관 정도가 약하고, ②번은 음의 방향이지만 상관 정도가 더 강하다고 고쳤습니다. 방향이 양인지 음인지를 보는 것과, 그 방향으로 점들이 얼마나 모여 있는지를 비교하는 것은 구분해야 합니다. 학생은 이미 적어 둔 축의 이름과 점 표시를 그대로 두고, 일부 점만 본 결론만 지웠습니다.

표현이 달라진 산점도 비교

단, 실제 주민의 자료라고 단정하지 않고 산점도 읽기 연습용 자료로 사용했습니다.

• 산점도 ㄱ: 가로축은 읽은 책의 수, 세로축은 주간 도서관 이용 시간. 점들이 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 향하지만 넓은 띠처럼 퍼져 있다.
• 산점도 ㄴ: 가로축은 주간 도서관 이용 시간, 세로축은 읽은 책의 수. 점들이 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 길게 모여 있다.

이번에는 축의 순서가 서로 바뀌었고, 질문도 “어느 산점도의 상관이 더 강한가?”에서 “두 변수가 함께 증가하는 흐름이 더 뚜렷한 자료는 어느 것인가?”로 바꾸었습니다. 학생은 축 이름이 달라져도 두 산점도 모두 오른쪽 위 방향임을 확인한 뒤, ㄱ은 점 사이의 퍼짐이 크고 ㄴ은 전체 점이 흐름 가까이에 모였다고 설명했습니다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 축의 배치와 질문의 표현이 달라졌지만, 같은 기준으로 판단한 것입니다.

힌트 없이 다시 확인한 장면

일주일 뒤 성화동중3수학과외 시간에는 학교나 생활권 정보 없이 새 자료를 제시했습니다. 산점도 A는 가로축에 운동 횟수, 세로축에 휴식 시간의 만족도를 놓았고, 점들이 오른쪽 위로 향하면서도 넓게 흩어져 있었습니다. 산점도 B는 가로축에 운동 횟수, 세로축에 준비 시간의 길이를 놓았으며, 점들이 오른쪽 아래로 일정하게 모여 있었습니다.

학생은 별도 힌트 없이 먼저 “A는 양의 방향, B는 음의 방향”이라고 적었습니다. 이어 “상관의 정도는 방향의 부호가 아니라 전체 점이 흐름에 얼마나 가까운지로 비교해야 한다”고 설명했습니다. A의 점들은 퍼짐이 크고 B의 점들은 한 방향으로 모여 있으므로, 방향은 서로 다르지만 상관 정도는 B가 더 강하다고 판단했습니다.

마지막으로 학생은 산점도의 축을 다시 가리고 판단하지 않았는지 확인하고, 모든 점을 훑어본 뒤 자신의 설명과 표시가 일치하는지 검산했습니다. 한 주가 지나도 일부 점이나 익숙한 예제 모양에 기대지 않고, 축 확인 → 전체 흐름 확인 → 점의 모임 정도 비교를 스스로 재현한 것입니다.