성화동 중2수학과외

성화동 중2수학과외에서 이어진 경우의 수 판단 기록

성화동과외 수업에서 학생은 성화중학교가 포함된 생활권의 문항 자료로 확률 단원을 풀었다.

식보다 먼저 선택 구조를 읽다

문제에는 상의 색 네 가지 중 하나를 고르고, 운동화 세 종류 중 하나를 고른 뒤, 고른 조합 중 특정 조건을 만족하는 경우를 묻는 상황이 제시되어 있었다. 학생은 문제에서 ‘상의’, ‘운동화’, ‘한 가지씩’을 동그라미로 표시했다. 이어 첫 선택은 4가지, 다음 선택은 3가지라고 옆에 적고, 작은 표를 만들어 상의 하나마다 운동화 세 가지가 연결되는지 확인했다.

학생은 곧바로 4와 3을 더할지 곱할지 보류했다. 두 선택을 모두 해야 하므로 한 상의를 골랐을 때 운동화 선택이 다시 이어진다는 점을 확인한 뒤, 전체 경우를 4×3=12로 계산했다. 문제에서 요구한 것은 특정 조합의 개수가 아니라 전체 조합 중 조건에 맞는 조합의 비율이었으므로, 조건에 맞는 경우를 표에서 따로 세어 분자에 놓으려 했다.

“먼저 해야 할 선택이 끝난 뒤에도 다음 선택을 해야 하면, 앞 선택 하나마다 뒤 선택 수가 반복되는지 보자.”

답을 틀어지게 만든 첫 판단

학생의 최초 오류는 계산 결과가 아니라 예제의 순서를 그대로 따라가며 전체 경우와 원하는 경우를 뒤바꾼 것이었다. 표에서 조건에 맞는 조합 세 개를 먼저 찾자 그 수를 분모에 적고, 전체 12를 분자에 적으려 했다. 아직 약분이나 계산을 시작하지 않았지만, 확률의 자리를 ‘문제에 먼저 나온 수’로 정한 것이 문제의 출발을 어긋나게 했다.

교사는 이미 맞게 한 선택 구조와 4×3 계산은 지우지 않고, 식의 두 자리에 질문을 다시 붙였다. “전체 중에서 원하는 것은 몇 개인가?”라는 문장을 빈칸으로 나누어 학생이 직접 채우게 했다. 학생은 ‘전체 중에서’에 12를, ‘원하는 것은’에 3을 대응시켜 원하는 경우 ÷ 전체 경우로 고쳤다. 따라서 확률은 3/12가 되고, 약분하여 1/4로 정리했다.

문장과 표가 바뀐 독립 적용

다음 문제는 옷 조합이 아니었다. 두 개의 회전판에서 각각 한 번씩 화살표를 돌리고, 첫 번째 회전판은 빨강·파랑·노랑·초록 네 칸, 두 번째 회전판은 별·하트 세 칸으로 나뉘어 있었다. 이번에는 표를 완성하지 않고, 학생이 먼저 “첫 회전판의 한 결과마다 두 번째 회전판의 세 결과가 붙는다”고 문장으로 설명했다.

질문도 달라져 있었다. 두 회전판의 결과 중 첫 번째가 파랑이고 두 번째가 하트인 경우의 확률을 구하라는 대신, 두 결과가 모두 정해진 조건이 아닐 때 전체 결과를 구하고, 별이 나온 경우의 비율을 말하라고 했다. 학생은 전체를 4×3으로 세어 12로 두었다. 별이 나오는 경우는 첫 번째 회전판의 네 결과마다 하나씩 연결되므로 4라고 적었다. 이후 4/12를 1/3으로 줄이며 “분자는 질문에 맞는 경우, 분모는 가능한 전체 경우”라고 말했다.

이번에는 표의 가로와 세로를 바꾸어 제시했지만, 학생은 배열 방향에 흔들리지 않고 각 단계의 선택 수를 곱했다. 단순히 숫자 4와 3을 다시 계산한 것이 아니라, 조합 상황을 표에서 문장으로 바꾸고 질문의 방향도 전체 경우에서 특정 조건의 비율로 바꾸어 적용한 것이다.

힌트 없이 다시 확인한 판단

성화동중2수학과외 수업의 확인 문제에서는 네 자리 비밀번호를 만들되 첫 자리는 1, 2, 3 중 하나이고 둘째 자리는 0 또는 5 중 하나이며, 뒤의 두 자리는 각각 0부터 9까지 사용할 수 있다고 제시했다. 단, 같은 숫자를 다시 사용할 수 있다고 명시되어 있었다. 학생은 도움을 기다리지 않고 조건에 밑줄을 그은 뒤, 자리별 선택 수를 3, 2, 10, 10으로 나누어 적었다.

학생은 “각 자리를 모두 정해야 하고, 앞자리 선택 뒤에도 같은 수의 다음 선택이 이어지므로 곱한다”며 전체 경우를 3×2×10×10=600으로 계산했다. 이어 첫 자리가 1이고 마지막 숫자가 5인 경우를 묻자 가운데 두 자리의 선택만 남는다고 판단해 1×2×10×1=20으로 세고, 확률을 20/600=1/30으로 정리했다. 마지막으로 원하는 경우 20이 전체 600을 넘지 않는지, 분모가 모든 비밀번호를 포함하는지, 조건을 반대로 세지 않았는지 스스로 점검했다.

또 다른 질문에서 ‘마지막 숫자가 5가 아닌 경우’의 확률을 묻자 5가 아닌 선택은 9가지이므로 3×2×10×9=540, 확률은 540/600=9/10이라고 계산했다. 이어 앞의 1/30과 더해 1이 되는지 확인하며 여사건까지 검산했다. 이 장면에서 학생은 유형명이나 풀이 순서의 도움 없이, 선택 단계의 수를 곱하고 원하는 경우를 전체 경우로 나누는 판단을 스스로 재현했다.