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성화동 고2수학과외

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거리 기록에서 시작하는 코사인법칙

학생의 첫 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.

“두 거리 5, 7과 끼인각 60°가 주어졌으므로 구하는 거리의 제곱은 5²+7²이다.”

직각삼각형이 아닌데 제곱을 단순히 더한 것이 오류였다. 성화동과외 수업에서는 공식 암기보다 어떤 변이 주어진 각의 맞은편에 있는지 먼저 확인하도록 풀이를 되짚었다.

하나의 거리 구조로 바꾸기

한 지점 A에서 두 지점 B, C까지의 거리가 각각 5km, 7km이고, 두 방향 사이의 각이 60°라고 하자. B와 C 사이의 거리 BC를 구하는 문제다.

삼각형에서 60°의 맞은편 변은 BC이다. 따라서 두 변 AB, AC와 그 사이각 A를 이용해야 한다.

BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos A

값을 대입하면

BC² = 5² + 7² − 2·5·7·cos 60° = 25 + 49 − 70·(1/2) = 39

따라서 BC = √39km이다. 거리이므로 음의 제곱근은 선택하지 않는다.

왜 빼는 항이 필요한가

두 변이 이루는 각이 60°이므로 두 방향이 같은 직선으로 뻗는 경우보다 B와 C가 가까워진다. 그래서 피타고라스 정리처럼 제곱을 더하는 것만으로는 부족하고, −2·AB·AC·cos A 항을 포함해야 한다.

특히 공식의 각 A는 변 BC의 맞은편 각이다. 각 B나 각 C를 임의로 넣으면 주어진 두 변과 끼인각의 관계가 달라진다.

서술형 답안 판정과 검증

답안 초반에는 “두 변의 길이와 그 사이각이 주어졌으므로 코사인법칙을 적용한다”라고 판단 근거를 쓸 수 있다. 이후 식을 세우고 단위를 붙이면 된다.

검산으로 7²−5² < BC² < 7²+5²를 확인하면, 24보다 크고 74보다 작은 39가 조건에 맞는다. 최종 거리는 약 6.24km이다.

성화동 고2수학과외 학부모 후기

시험 결과를 가족에게 보여준 뒤 공부를 마치고도 아이가 바로 자리를 뜨지 않더라고요. 계산이 길게 이어진 문제를 펼쳐 놓고 잠시 보길래 답을 확인하려나 했는데, 틀린 줄까지 전부 지우지 않고 그 직전 줄에 연필을 대고 다시 풀기 시작했어요. 전에는 어디에서 막혔는지 한곳으로 좁히지 못해서 복습할 때 풀이 전체를 처음부터 다시 적곤 했거든요. 이번 모습은 시작점이 분명해서 조금 달라 보이더라고요. 성화동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 장면을 떠올릴 만큼 눈에 들어왔습니다. 새 수행평가 대본을 받아든 날에도 같은 식으로 오류가 생기기 바로 전 줄을 찾아 그 자리부터 풀이를 이어 갔어요. 다음에 볼 수 있도록 옆에 위치를 표시해 둔 것도 예전과 달랐고, 긴 계산을 처음부터 되풀이하지 않았습니다.

★★★★☆학부모 후기

다음 수업 전 교재를 펼쳐 보니, 문제 그림 옆에 필요한 조건만 골라 옮긴 새 그림이 따로 그려져 있더라고요. 처음 남겨 둔 표시도 지우지 않은 채 그 그림을 보면서 풀이를 이어 간 흔적이 보이더라고요. 성화동 수학과외를 알아보던 때부터 교재를 가끔 살펴봤지만, 이런 식으로 정리해 둔 건 눈에 잘 들어오지 않았거든요. 방학 첫 주 오후에도 기하 문제를 풀고 있기에 지나가다 봤는데, 원래 그림을 그대로 따라가면 될 텐데도 조건을 새 그림에 다시 옮겨 적고 있었습니다. 필요한 부분만 남겨 놓으니 풀이가 어느 쪽으로 이어졌는지도 한눈에 보였어요. 예전에는 답을 확인하고 나서도 다음에 어디를 다시 봐야 할지 따로 정해 두지 않았습니다. 그런데 이번에는 오답을 확인한 자리와 새로 그린 그림이 함께 남아 있어서, 풀이를 다시 살필 곳이 분명하게 보였어요.

★★★★☆학부모 후기

성화동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 어려운 문제는 틀린 채로 표시만 해두고 다시 보기를 미루곤 했습니다. 시험 일주일 전에도 선생님은 재촉하기보다 중간중간 자연스럽게 질문을 건네며 이해한 부분을 확인해 주셨고, 수업 후에는 아이가 혼자 숙제를 이어갔습니다. 공부를 대하는 부담이 조금 줄어든 모습이 보기 좋았습니다.

★★★★★학부모 후기

학교 과제와 과외 숙제가 한꺼번에 몰린 주간에도 아이가 예전처럼 답지를 먼저 찾지 않아 기억에 남았습니다. 성화동에서 수업을 받으며 어려운 부분은 선생님이 진도를 재촉하지 않고 그 자리에서 다시 설명해 주셔서, 부담을 덜 느끼면서도 스스로 준비하는 습관이 생겼습니다. 시험기간에는 틀린 문제를 다시 펼쳐보는 모습도 자연스러워졌습니다.

★★★★★학부모 후기

성화동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 숙제를 펼치기까지 한참 미루던 모습이 조금씩 줄었습니다. 옆에서 지켜보니 선생님은 컨디션이 좋지 않은 날 문제 수를 무리하게 늘리지 않고 핵심만 짚어 주셨고, 아이가 푼 과정을 지우지 않은 채 다시 살펴보며 복습하도록 이끌었습니다. 수업을 마친 뒤에는 “이 부분을 다시 설명해 달라”고 먼저 말하는 일이 생겨, 성적보다 질문을 편하게 받아들이는 변화가 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기