성화동 고2수학과외







거리 기록에서 시작하는 코사인법칙
학생의 첫 풀이에는 다음과 같이 적혀 있었다.
“두 거리 5, 7과 끼인각 60°가 주어졌으므로 구하는 거리의 제곱은 5²+7²이다.”
직각삼각형이 아닌데 제곱을 단순히 더한 것이 오류였다. 성화동과외 수업에서는 공식 암기보다 어떤 변이 주어진 각의 맞은편에 있는지 먼저 확인하도록 풀이를 되짚었다.
하나의 거리 구조로 바꾸기
한 지점 A에서 두 지점 B, C까지의 거리가 각각 5km, 7km이고, 두 방향 사이의 각이 60°라고 하자. B와 C 사이의 거리 BC를 구하는 문제다.
삼각형에서 60°의 맞은편 변은 BC이다. 따라서 두 변 AB, AC와 그 사이각 A를 이용해야 한다.
BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos A
값을 대입하면
BC² = 5² + 7² − 2·5·7·cos 60° = 25 + 49 − 70·(1/2) = 39
따라서 BC = √39km이다. 거리이므로 음의 제곱근은 선택하지 않는다.
왜 빼는 항이 필요한가
두 변이 이루는 각이 60°이므로 두 방향이 같은 직선으로 뻗는 경우보다 B와 C가 가까워진다. 그래서 피타고라스 정리처럼 제곱을 더하는 것만으로는 부족하고, −2·AB·AC·cos A 항을 포함해야 한다.
특히 공식의 각 A는 변 BC의 맞은편 각이다. 각 B나 각 C를 임의로 넣으면 주어진 두 변과 끼인각의 관계가 달라진다.
서술형 답안 판정과 검증
답안 초반에는 “두 변의 길이와 그 사이각이 주어졌으므로 코사인법칙을 적용한다”라고 판단 근거를 쓸 수 있다. 이후 식을 세우고 단위를 붙이면 된다.
검산으로 7²−5² < BC² < 7²+5²를 확인하면, 24보다 크고 74보다 작은 39가 조건에 맞는다. 최종 거리는 약 6.24km이다.