성환생활권 중2수학과외

표와 그림이 달라졌을 때도 내심을 찾는 과정

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그림보다 먼저 생긴 한 줄의 판단

문제에는 삼각형 ABC 안의 점 I가 표시되어 있었고, ∠BAI와 ∠IAC가 같은 크기라는 조건이 표에 적혀 있었다. 또 다른 그림에는 점 I에서 세 변까지 내린 선분의 길이가 같다고 제시되어 있었다. 학생은 먼저 표의 내용을 옮겨 적었다.

• ∠BAI = ∠IAC
• 점 I에서 변 AB와 AC에 내린 선분의 길이는 같음
• 점 I는 삼각형 안쪽에 있음

그런데 그림의 가운데에 점이 놓였다는 이유로 학생은 그 점을 외심이라고 적었다. 이어 각의 꼭짓점에서 반대편 변으로 선을 그어야 한다고 생각해, I에서 변 BC로 선을 그은 뒤 그 선이 각을 나누는지 확인하지 않고 풀이를 진행했다. 계산할 수 있는 각을 먼저 찾으려 했지만, 두 표현의 조건이 서로 맞지 않는 듯해 풀이가 멈췄다.

“가운데에 있는 점이라는 위치만 보고 점의 이름을 정하면 안 돼. 이 문제에서는 점이 어떤 선과 어떤 길이 관계를 만드는지가 먼저야.”

외심과 바꿔 적은 판단을 바로잡다

교사는 이미 적은 각의 관계를 지우지 않고, 학생이 처음 기록한 ∠BAI = ∠IAC를 그대로 남겼다. 그리고 이 식이 뜻하는 바를 문장으로 바꾸게 했다. 학생은 “점 I를 지나는 선분 AI가 A의 각을 둘로 같은 크기로 나눈다”고 다시 적었다. 같은 방식으로 ∠CBI와 ∠IBA, ∠ACI와 ∠ICB도 확인했다.

세 꼭짓점에서 각각 각을 둘로 나누는 선분이 한 점 I를 지나므로, I는 세 각의 이등분선이 만나는 점인 내심이라고 정리했다. 외심처럼 꼭짓점에서 같은 거리에 있다는 조건을 먼저 찾는 것이 아니라, 내심은 각의 이등분선의 교점이라는 정의에서 출발해야 한다는 점을 한 문장으로 표시했다.

그림에 선이 모두 그려져 있지 않은 경우에는 주어진 표시만 따로 적었다. A에서 양쪽 각에 같은 호 표시가 있으면 AI가 A의 이등분선이고, B에서도 같은 표시가 있으면 BI가 B의 이등분선이다. 두 선이 만나는 점을 I로 확인한 뒤, 세 번째 각에서도 같은 관계가 성립하는지 살폈다. 그림의 모양이나 점의 위치만으로 결론을 정하지 않고, 표시된 조건과 점의 연결을 근거로 삼은 것이다.

표현을 바꾼 독립 문제

다음 문제에서는 그림 대신 문장이 제시됐다. “삼각형 PQR에서 점 J는 ∠P와 ∠Q를 각각 이등분하는 선분의 교점이다. ∠RPJ와 ∠JPQ 중 어느 두 각이 같은가?” 학생은 점 이름과 조건의 순서가 달라졌지만, 먼저 꼭짓점 P에서 J를 지나는 선분을 찾았다. 따라서 ∠RPJ와 ∠JPQ가 같다고 적고, Q에서도 ∠RQJ와 ∠JQP가 같다고 설명했다.

또 다른 문항은 식처럼 제시됐다.

• ∠XKI = ∠IKY
• ∠YLI = ∠ILZ
• 삼각형 XYZ 안에서 K는 X, L은 Y에 대응하는 꼭짓점

학생은 점 이름을 외워 대입하지 않고, 각의 가운데 글자가 꼭짓점이라는 점을 먼저 확인했다. 각 X와 Y에서 I를 지나는 선이 각각 두 부분을 같은 크기로 나누므로, I를 두 각의 이등분선이 만나는 점으로 해석했다. 이후 “I가 내심이라면 Z에서도 각을 나누는가?”라는 질문에 대해, 문제에서 Z의 이등분선 조건까지 주어졌는지 따로 표시했다. 주어진 조건만으로 확인할 수 있는 것과 그림에서 추측한 것을 구분한 것이다.

힌트 없이 다시 확인한 장면

마지막 확인 문제는 삼각형 MNO 안의 점 T를 제시하고, 선분 MT와 NT가 각각 ∠M과 ∠N을 이등분한다고만 설명했다. 학생은 도움을 기다리지 않고 “T는 두 각의 이등분선이 만나는 점이므로 내심 후보이다”라고 첫 판단을 세웠다. 이어 ∠OMT = ∠TMN, ∠ONT = ∠TNO를 직접 적어 각의 양쪽이 같은지 확인했다.

학생은 여기서 멈추지 않고 “내심이라고 부르려면 그림의 가운데라는 위치가 아니라 각의 이등분선 관계가 근거가 되어야 한다”고 풀이 옆에 썼다. 세 번째 꼭짓점 O에 대한 이등분선 조건이 문제에 포함되어 있는지도 다시 읽고, 포함되어 있으면 T가 세 각의 이등분선의 공통점이라고 결론 내렸다. 반대로 그 조건이 없으면 확인되지 않은 관계를 임의로 덧붙이지 않았다.

검산에서는 처음 문제에서 외심으로 잘못 판단했던 이유를 떠올리지 않고, 새 문제의 각 표시와 선분의 끝점을 다시 대조했다. 점 T가 어느 꼭짓점의 각을 나누는지, 두 각의 순서가 바뀌어도 가운데 글자가 꼭짓점을 나타내는지 스스로 설명했다. 표현이 그림에서 문장과 식으로 바뀌어도 내심을 판단하는 기준을 같은 방식으로 재현한 것이다.