성환생활권 중1수학과외

조건을 읽는 순서가 합동 판단을 바꾼 사례

성환생활권의 두정역마을과 백송마을이 이어지는 생활권에서 중1 수학 과외를 진행하며, 삼각형의 합동 조건을 표현하는 방법을 바꾸어 보는 문제를 다뤘다.

학생이 적어 내려간 첫 풀이

문제에는 삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 제시되어 있었고, ∠A=∠D, AB=DE, ∠B=∠E가 주어졌다. 학생은 그림을 보자마자 두 삼각형이 거의 같은 방향으로 놓였다는 이유로 종이에 삼각형 ABC의 모양을 그대로 옮겨 그렸다. 그 뒤 “각 두 개와 변 한 개가 같으므로 ASA 합동”이라고 적고, 대응 꼭짓점을 A-D, B-E, C-F로 표시했다.

계산 자체는 없었지만, 풀이가 어긋나기 시작한 지점은 합동 조건의 이름을 고르기 전에 주어진 변이 두 각 사이에 놓였는지 확인하지 않은 것이었다. AB는 ∠A와 ∠B 사이의 변이므로 이 경우에는 맞게 판단할 수 있었지만, 학생은 그림의 방향만 보고 대응 순서를 정했다. 문제의 두 번째 도형은 뒤집혀 그려져 있어 실제 대응은 A-D, B-F, C-E였기 때문이다.

그림의 방향이 아니라, 같은 크기로 주어진 각과 변이 어느 꼭짓점에 연결되는지 먼저 확인해야 한다.

대응 관계를 다시 세운 과정

학생은 기존에 표시한 선을 지우고, 먼저 ∠A와 같은 표시가 있는 각에 D를 연결했다. 이어 AB와 길이가 같은 변을 찾아 DE에 표시하고, 그 변의 양 끝에 있는 각을 비교했다. ∠B와 같은 각은 E가 아니라 F에 있었으므로 B-F를 대응점으로 고쳤다. 남은 꼭짓점은 자연스럽게 C-E가 되었다.

이제 대응을 순서대로 쓰면 A-B-C와 D-F-E가 연결된다. 주어진 조건은 ∠A=∠D, AB=DF, ∠B=∠F로 정리되며, 가운데 변 AB와 DF가 두 각 사이에 있다. 따라서 “두 각과 그 사이에 있는 변이 각각 같으므로 두 삼각형은 합동이다”라고 근거를 한 문장으로 설명할 수 있었다. 학생은 그림을 복사해 맞추려 했던 방식을 버린 것이 아니라, 이미 확인한 각과 변의 표시를 활용하면서 대응점만 바로잡았다.

표현이 달라진 문제에 적용하기

다음 문제에서는 두 삼각형이 서로 반대 방향으로 놓였고, 조건도 문장이 아닌 표로 제시되었다. 표에는 다음과 같이 적혀 있었다.

• ∠P와 ∠X의 크기가 같다.
• QR과 XZ의 길이가 같다.
• ∠R와 ∠Z의 크기가 같다.

학생은 이번에는 도형을 돌려서 겹치려 하지 않고, 표의 조건부터 도형에 표시했다. ∠P에 한 줄, ∠R에 두 줄을 긋고, QR과 XZ에는 같은 길이 표시를 했다. 그 결과 QR은 ∠Q와 ∠R 사이의 변이고, XZ는 ∠X와 ∠Z 사이의 변임을 확인했다. 따라서 P-Q-R과 X-Y-Z를 억지로 연결하지 않고, 조건에 맞는 대응 순서를 P-X, Q-Y, R-Z로 다시 작성했다.

질문이 “어떤 두 삼각형이 합동인지 쓰시오”가 아니라 “∠Q에 대응하는 각과 그 이유를 쓰시오”로 바뀌었을 때도 같은 원칙을 적용했다. Q의 대응점은 Y이므로 대응각은 ∠Y이다. ∠P와 ∠X, ∠R와 ∠Z가 먼저 연결되고, 남은 꼭짓점이 서로 대응한다는 이유까지 덧붙였다. 단순히 숫자를 바꾼 문제가 아니라, 그림·표·질문 방향이 달라져도 조건에서 대응 관계를 끌어내는 연습이었다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

단원평가 직전에는 새로운 도형이 회전된 상태로 제시되었다. 학생은 도움 없이 먼저 같은 각에 표시하고, 같은 길이의 변을 찾은 다음 그 변의 양 끝 각을 확인했다. 이어 대응점을 한 줄로 적고, “두 각이 같고 그 사이의 변이 각각 같으므로 ASA 합동 조건을 만족한다”고 설명했다.

마지막으로 처음 문제의 조건을 다시 대입했다. 자신이 정한 대응에서 ∠A는 ∠D가 아니라 ∠D에, ∠B는 ∠F에 연결되어 있었고, AB는 DF와 대응했다. 따라서 처음에 잘못 적었던 A-B-C와 D-E-F라는 순서가 왜 틀렸는지도 스스로 설명했다. 성환생활권과외에서 진행한 이 사건은 성환생활권중1수학과외 수업에서도 활용할 수 있는 사례로, 합동 여부보다 먼저 주어진 각과 변의 위치를 읽고 대응 순서를 세우는 과정을 보여 준다.