성성지구 중2수학과외

성성지구 중2수학과외에서 진행한 내심 판단 교정

이곳의 중2 수학 과외에서 학생과 삼각형의 내심 문제를 풀던 중, 계산 실수보다 먼저 고쳐야 할 판단이 드러났습니다.

계산 전에 바뀌어 버린 기준

문제에는 삼각형 ABC의 세 변에 접하는 원의 중심을 I라고 하고, 점 I에서 각의 꼭짓점으로 이어지는 선분과 각의 크기를 묻는 조건이 제시되어 있었습니다. 학생은 그림에서 I를 보고 곧바로 “세 변의 수직이등분선이 만나는 점”이라고 적었습니다. 이어서 한 변의 중점을 표시하고, 그 중점에서 직각으로 만나는 선을 그린 뒤 I와 연결되는 각을 계산하려 했습니다.

학생은 그림의 각도에 동그라미를 치고, 주어진 50도와 60도를 더해 남은 각을 구했습니다. 계산 과정 자체는 빠르게 진행됐지만, 어느 선이 각의 이등분선인지 표시하지 않은 채 수직이등분선의 성질을 내심에 적용한 것이 첫 번째 어긋남이었습니다. 답이 맞는지 확인하려고 세 각의 합을 계산했지만, 이미 중심의 정의를 잘못 선택했기 때문에 검산도 같은 방향으로 흘렀습니다.

학생이 처음 잘못 고른 것은 계산식이 아니라 “내심을 어떤 선의 교점으로 볼 것인가”라는 기준이었다.

내심을 결정하는 선만 다시 표시하기

교정에서는 풀이 전체를 지우지 않았습니다. 주어진 각을 더해 세 번째 각을 구한 과정은 그대로 두고, 중심을 판단하는 한 줄만 바꾸었습니다. 삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선이 만나는 점이며, 각 변까지의 거리가 같고 내접원의 중심이 됩니다. 반대로 세 변의 수직이등분선이 만나는 점은 외심입니다.

학생은 그림에서 각의 꼭짓점마다 양쪽 각이 같은지를 나타내는 짧은 표시를 붙였습니다. 변의 중점과 직각 표시가 있는 선은 수직이등분선으로 따로 표시하고, 내심 I로 향하는 선에는 각을 반으로 나눈다는 표시를 붙였습니다. 그 뒤 ∠BAI와 ∠IAC가 같으므로 ∠BAI가 25도라는 사실을 사용했습니다. “I가 내심이므로 A에서 I로 연결한 선은 각의 이등분선이다”라고 이유도 옆에 적었습니다.

이제 수직이등분선은 계산에서 제외하고, 필요한 각의 이등분선만 남겼습니다. 이미 구해 둔 삼각형의 세 내각 합 계산은 유지했으며, 내심과 관련된 각을 묻는 부분에서는 해당 꼭짓점의 각을 2로 나누었습니다. 마지막으로 두 부분의 각을 더해 원래 꼭짓점의 각과 일치하는지 확인했습니다.

성질을 외우는 문제에서 조건을 판별하는 문제로

다음 문제에서는 그림 대신 문장이 먼저 제시되었습니다. “점 P가 ∠B와 ∠C의 이등분선 위에 있고, P에서 세 변까지의 거리가 같을 때 P를 무엇이라 하는가?”라는 질문이었습니다. 숫자를 바꾼 반복 문제가 아니므로 학생은 바로 계산하지 않고, 문장 속 조건에 밑줄을 그었습니다.

• ∠B와 ∠C의 이등분선 위라는 조건에는 각 표시를 붙였습니다.
• 세 변까지의 거리가 같다는 조건은 내접원의 중심과 연결해 적었습니다.
• 수직이등분선, 변의 중점, 외접원이라는 말이 없으므로 외심 조건은 아니라고 구분했습니다.

질문도 달라졌습니다. 이번에는 내심의 성질을 말하는 대신, 주어진 조건만으로 점 P가 내심인지 판별해야 했습니다. 학생은 “두 내각의 이등분선은 한 점에서 만나고, 그 점은 세 내각의 이등분선의 교점이므로 내심으로 볼 수 있다”고 적었습니다. 문제에 각의 이등분선이 언급되었는지, 수직이등분선이 언급되었는지를 먼저 살핀 뒤 필요한 성질만 꺼내는 방식이었습니다.

힌트 없이 다시 세운 첫 판단

수업 끝부분에는 새로운 그림을 제시했습니다. 삼각형 안의 점 Q에서 세 꼭짓점으로 선분이 그어져 있고, 두 선분에 같은 각 표시가 있으며, 한 변의 중점과 직각 표시도 함께 있었습니다. 학생은 설명을 기다리지 않고 그림을 두 종류의 선으로 나누어 표시했습니다. “같은 각 표시가 있는 선은 각의 이등분선이므로 Q가 내심인지 먼저 확인하고, 중점과 직각 표시가 있는 선은 수직이등분선이므로 Q의 내심 판단에는 바로 쓰지 않겠다”고 말했습니다.

학생은 한 꼭짓점의 양쪽 각을 실제로 읽어 두 각이 같은지 확인하고, 다른 꼭짓점에서도 같은 표시가 있는지 살폈습니다. 이어 Q가 내심이라면 세 내각의 이등분선이 한 점에서 만나야 한다고 설명했습니다. 마지막에는 자신이 구한 각의 두 부분을 더해 원래 각이 되는지, 세 내각의 합이 180도인지 차례로 검산했습니다.

이번 검증에서 학생은 답만 제시하지 않았습니다. “내심 문제의 첫 판단은 수직이등분선이 아니라 각의 이등분선 확인이며, 중점과 직각 표시가 있어도 그것만으로 내심을 정하지 않는다”고 풀이 앞부분의 기준을 스스로 재현했습니다. 성성지구중2수학과외에서 확인한 변화는 계산량이 아니라, 그림의 조건을 읽고 중심의 종류를 먼저 가르는 판단의 순서였습니다.