성성동 고1수학과외
천안오성고등학교 | 부정방정식의 정수해를 시간 안에 판별하는 연습
성성동에서 진행한 고1 수학 학습에서 학생은 부정방정식의 정수해를 구하는 서술형 문항을 만났을 때, 경우를 나누는 데 집중하다가 특수한 값을 일반적인 경우처럼 처리했다. 그 결과 실제로는 나눌 수 없는 식까지 해의 후보에 포함되었다.
나눈 경우가 정말 정의되는지 확인하기
예를 들어 정수해를 구하는 과정에서 (x-2)(y+1)=6을 얻었다면, 학생은 x-2를 6의 약수로 두고 경우를 나눌 수 있다. 그러나 식을 변형하며 어떤 항으로 나누었다면 그 항이 0인 경우를 먼저 제외해야 한다. 학생은 이 제외 조건을 적지 않은 채 특수값을 일반식에 넣었다.
경우를 나누기 전에, 지금 사용하는 나눗셈이 모든 경우에 정의되는가?
이 질문을 풀이 여백에 적고, 나누는 기준이 0이 되는 경우를 별도로 표시하게 했다. 이후에는 각 경우가 원래 정수방정식을 만족하는지 직접 대입해, 계산 과정과 해의 자격을 구분했다.
조건의 위치를 바꾼 정수해 문항
다음에는 xy=12에서 x+y가 양수가 되도록 하는 정수쌍을 찾게 했다. 단순히 약수쌍을 나열하는 대신, 양의 약수쌍과 음의 약수쌍을 나누고 합의 부호를 기준으로 걸러내도록 했다. 곱이 같아도 부호에 따라 합이 달라진다는 점을 반영한 적용이었다.
- 양의 곱을 만드는 정수쌍은 두 수의 부호가 같다.
- 그중 합이 양수인지 확인해야 한다.
- 순서를 구별하는지에 따라 해의 개수를 따로 판단한다.
새 식에서 해의 누락 여부 점검
마지막에는 2x-3y=7의 정수해를 매개변수로 나타내게 한 뒤, 제시된 해 하나가 실제 식을 만족하는지 확인하게 했다. 이후 해의 차이를 살펴보며 x가 3씩, y가 2씩 변하는 구조를 찾아 누락된 정수해가 없는지 점검했다.
특수값을 무심코 일반화하지 않고, 각 경우의 정의 가능성과 원식의 성립 여부를 분리해 확인하면서 부정방정식의 정수해를 더 안정적으로 정리했다.