불당지구 중2수학과외

그림의 모양보다 조건의 표시를 먼저 읽는 직각삼각형 합동

불당지구 생활권에는 극동늘푸른아파트와 불당동문화카페거리가 있는 생활권, 천안불당중학교가 포함된 생활권이 함께 있다. 이 지역에서 진행한 중2수학과외 수업에서 학생은 직각삼각형의 합동조건을 판단하는 문제를 시간 제한 안에 풀고 있었다.

문제에는 두 직각삼각형이 나란히 그려져 있었고, 한 변에는 같은 표시가, 한 각에는 같은 표시가 있었다. 학생은 문제를 읽자마자 두 도형의 외곽선을 손가락으로 따라갔다. 왼쪽 삼각형이 오른쪽 삼각형보다 길쭉해 보이자 “이 변들이 서로 대응하겠다”고 옆에 짧게 적었다. 이어 그림에서 비슷한 위치에 있는 두 점을 연결하고, 표시가 있는 변과 각은 자세히 옮겨 쓰지 않은 채 합동이라고 결론 내리려 했다.

오답보다 앞선 선택을 다시 찾다

계산 과정에서 숫자를 잘못 더한 것이 아니었다. 학생이 가장 먼저 어긋난 지점은 그림의 모양과 위치를 조건으로 선택한 것이었다. 실제로 같은 길이를 뜻하는 표시는 두 변에 있었지만, 학생은 표시가 없는 외곽선의 길이까지 같다고 보았다. 직각 표시도 확인하지 않고 “생긴 모양이 비슷하니 대응한다”고 판단했다.

“그림에서 그렇게 보이는 것과 문제에서 같다고 주어진 것은 따로 구분해야 해.”

교사는 새로운 풀이법을 여러 개 제시하지 않고, 학생이 이미 할 수 있었던 점 이름 읽기와 표시 확인은 그대로 두었다. 대신 문제 옆에 작은 조건표 하나만 만들게 했다. 첫 줄에는 직각 표시가 있는 각을 적고, 다음 줄에는 같은 표시가 붙은 변을 적었다. 마지막으로 각과 변이 만나는 점의 이름을 원래 그림에서 다시 확인했다. 표시가 없는 선은 조건표에 넣지 않도록 했다.

• 직각 표시가 있는 각: ∠B, ∠E
• 같은 변 표시: AB와 DE
• 대응을 확인할 점: B와 E

학생은 “두 삼각형 모두 직각삼각형이라는 사실과, 대응하는 조건이 실제로 표시되어 있다는 사실을 먼저 확인해야 한다”고 말했다. 이어 대응점을 B↔E로 정한 뒤, 그 점에 붙은 변과 각의 위치를 비교했다. 그림의 크기나 기울기는 지우개로 가리고 조건표만 보면서 합동조건을 판단했다. 교사가 “표시 없는 변도 같다고 할 수 있나?”라고 묻자 학생은 “아직 주어진 조건이 아니므로 대응 판단에 사용할 수 없다”고 답했다.

표현을 바꾼 문제에서 대응 관계를 세우다

다음 문제는 그림 순서를 바꾸었다. 앞 문제에서는 왼쪽 삼각형의 점이 ㄱ, ㄴ, ㄷ 순서였지만, 이번에는 오른쪽 도형의 점 이름이 먼저 제시되었다. 또한 직접 그림에 같은 표시를 붙이는 대신 문장으로 “∠P와 ∠S가 각각 직각이고, 변 PQ와 변 ST의 길이가 같다”고 적혀 있었다. 질문도 “두 삼각형이 합동인지 설명하라”가 아니라 “점 Q에 대응하는 점을 쓰고, 그 근거가 되는 조건을 말하라”로 바뀌었다.

학생은 곧바로 모양을 비교하지 않고 문장에서 직각인 각 P와 S를 동그라미로 표시했다. 이어 PQ와 ST에 밑줄을 긋고, P↔S가 정해졌으므로 P에 연결된 같은 조건의 변은 Q↔T로 이어진다고 적었다. “직각이라는 조건만으로는 충분하지 않고, 대응하는 변의 표시도 함께 확인해야 한다”고 풀이 이유를 덧붙였다. 이번에는 도형을 회전해 그려 놓았지만 학생은 회전 여부와 관계없이 조건이 만나는 점을 기준으로 대응점을 찾았다.

또 다른 변형에서는 조건의 순서가 달랐다. 먼저 두 변이 같다고 제시한 뒤, 나중에 두 각이 직각이라고 했다. 학생은 문장 순서에 끌려가지 않고 같은 변 표시와 직각 표시를 각각 따로 옮겨 적었다. 그 후 두 조건이 같은 위치의 대응 관계를 만드는지 확인하고, 점 이름을 대응 순서에 맞게 다시 배열했다. 합동 여부를 말할 때에도 “그림이 닮아 보여서”가 아니라 “두 직각삼각형에서 주어진 대응 변과 직각이 일치하므로”라고 설명했다.

힌트 없이 다시 확인한 풀이

한 주 뒤 학생에게는 점 이름과 조건 순서가 모두 바뀐 문제가 제시되었다. 이번에는 두 직각삼각형이 서로 겹쳐 있어 외곽선만 보면 어느 점이 대응하는지 바로 알기 어려웠다. 학생은 먼저 직각 표시 두 곳에 동그라미를 치고, 같은 변 표시를 찾아 선으로 연결했다. 그런 다음 직각이 있는 점과 표시된 변이 만나는 점을 각각 확인해 대응점을 세웠다.

학생은 “먼저 그림의 크기나 방향을 판단하지 않고, 실제로 주어진 표시를 찾았다. 직각인 각과 같은 길이로 표시된 변이 대응하는지 확인한 뒤 점을 연결했다”고 스스로 설명했다. 풀이를 마친 뒤에는 대응변의 양 끝점 순서를 다시 읽었다. 한 삼각형의 대응 순서가 다른 삼각형에서 뒤집혀 있지 않은지, 직각 표시가 서로 다른 위치로 연결되지 않았는지 검산했다. 두 도형의 모양을 가린 상태에서도 같은 대응 관계를 말할 수 있었고, 합동 판단의 근거와 대응점 연결이 끝까지 일치했다. 불당지구에서의 이번 수업은 학생이 직각삼각형 합동조건을 힌트 없이 다시 세우는 장면으로 마무리되었다.

천안불당중학교가 포함된 생활권에서 찾는 불당지구과외 수업에서도 이처럼 조건을 먼저 읽고 대응 관계를 확인하는 과정이 핵심이 된다. 불당지구중2수학과외에서는 학생이 본 그림의 인상보다 문제에 실제로 주어진 표시를 근거로 판단하도록 풀이 장면을 점검한다.