방서동 중1수학과외

답보다 먼저 확인한 다각형의 내각의 합

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친구 풀이와 나란히 놓은 한 줄

문제는 오각형의 네 내각이 110°, 125°, 95°, 140°이고 나머지 한 각을 구하는 내용이었다. 학생은 그림에 적힌 각을 순서대로 옮겨 적은 뒤,

110+125+95+140=470, 470-180=290

이라고 썼다. 친구는 오각형을 한 꼭짓점에서 대각선으로 나누어 삼각형 세 개를 만들고, 내각의 합을 180×3=540°로 정리한 뒤 540-470=70°라고 계산했다.

두 풀이를 비교하면서 학생은 자신의 계산 결과만 고치려 했지만, 먼저 살펴볼 부분은 290이라는 숫자가 아니었다. 풀이가 어긋난 최초의 판단은 오각형의 전체 내각의 합을 180°로 본 것이었다. 180°는 삼각형 하나의 내각의 합이지, 오각형 전체의 합이 아니었다.

도형을 쪼개서 기준을 다시 세우다

학생은 오각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 두 개 그어 삼각형 세 개를 표시했다. 이어서 “삼각형 3개의 합이므로 180°×3=540°”라고 옆에 적었다. 이 방법은 친구의 풀이를 그대로 외우는 대신, 왜 3이 나오는지 그림에서 확인하는 교정이었다.

그 뒤 주어진 네 각을 다시 한 줄에 쓰고 단위를 빠뜨리지 않도록 표시했다.

• 주어진 각의 합: 110°+125°+95°+140°=470°
• 오각형 전체 내각의 합: 540°
• 구하지 않은 각: 540°-470°=70°

학생은 70°를 원래 조건에 넣어 110+125+95+140+70=540°가 되는지 확인했다. 숫자만 맞춘 것이 아니라, 오각형이 삼각형 세 개로 나뉜다는 근거와 각의 단위를 함께 설명했다.

그림의 방향과 질문을 바꾼 독립 적용

다음 문제에서는 같은 오각형을 옆으로 회전한 그림이 제시되었고, 각의 표시 순서도 달랐다. 이번에는 “표시된 네 각의 합과 남은 각”을 바로 계산하지 않고, 먼저 그림의 꼭짓점 다섯 곳에 순서대로 표시를 붙였다. 문제의 질문도 “구하지 않은 각은 몇 도인가?”가 아니라 “다섯 내각 중 표시되지 않은 각을 포함한 전체 합은 얼마인가?”로 바뀌어 있었다.

학생은 질문을 자신의 말로 “오각형 전체의 합을 먼저 구한 다음, 표시된 각의 합을 빼면 된다”라고 바꾸어 적었다. 표시된 각이 82°, 118°, 104°, 96°라면

오각형의 합은 (5-2)×180°=540°
표시된 각의 합은 82°+118°+104°+96°=400°
남은 각은 540°-400°=140°

라고 풀이했다. 도형이 회전되어도 변의 개수는 다섯 개라는 점, 각의 단위는 모두 도라는 점을 따로 확인했다. 보기에서 친구의 풀이 일부를 가린 뒤에도 “오각형은 삼각형 세 개로 나뉘므로 540°”라고 한 줄로 이유를 썼다.

힌트 없이 다시 세운 검증

방서동중1수학과외 학습 기록의 마지막에는 새로운 조건을 넣은 문제가 남았다. 육각형의 내각 중 다섯 개가 130°, 115°, 125°, 140°, 110°로 주어지고 나머지 한 각을 묻는 문제였다. 학생은 도움 없이 먼저 “육각형은 삼각형 네 개로 나뉜다”고 적고 전체 합을 4×180°=720°로 계산했다. 주어진 각의 합은 620°이므로 남은 각은 100°였다.

학생은 답만 적지 않고, 육각형의 꼭짓점 수와 삼각형의 개수를 다시 세었다. 이어 130+115+125+140+110+100=720°인지 확인하며, 처음 오각형에서 180°를 전체 합으로 사용했던 오류와 달리 이번에는 도형의 변 개수에서 전체 합을 세웠다고 설명했다. 이처럼 방서동과외 수학 풀이에서는 회전된 그림이나 바뀐 질문 앞에서도 먼저 다각형의 종류와 내각의 합을 확인하는 과정이 독립적으로 재현되었다.