방서동 고2수학과외







보기에서 출발하는 삼각함수 부호 판단
좌표평면에서 점 \(P(x,y)\)가 제3사분면에 놓여 있을 때, \(\sin\theta\), \(\cos\theta\), \(\tan\theta\)의 부호를 묻는 문제를 살펴보자. 점의 위치만 알면 복잡한 계산 없이 세 함수의 부호를 결정할 수 있다.
| 사분면 | x | y | sinθ | cosθ | tanθ |
|---|---|---|---|---|---|
| 제1사분면 | + | + | + | + | + |
| 제2사분면 | - | + | + | - | - |
| 제3사분면 | - | - | - | - | + |
| 제4사분면 | + | - | - | + | - |
오답이 생긴 지점
학생은 제3사분면에서 \(\sin\theta<0\), \(\cos\theta<0\)까지는 맞게 판단했지만, \(\tan\theta\)도 음수라고 답했다. 함수값 표를 순서대로 외우면서 \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)라는 관계를 확인하지 않은 것이 원인이었다.
좌표 부호를 함수값으로 연결하기
정의에서 다시 확인
점 \(P(x,y)\)가 원점에서 각 \(\theta\)의 방향에 놓이고 \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)라면
\[ \sin\theta=\frac{y}{r},\qquad \cos\theta=\frac{x}{r},\qquad \tan\theta=\frac{y}{x} \]
이다. \(r\)은 항상 양수이므로 \(\sin\theta\)의 부호는 \(y\), \(\cos\theta\)의 부호는 \(x\)와 같다. 따라서 제3사분면에서는 \(x<0,\ y<0\)이므로 \(\sin\theta<0,\ \cos\theta<0\)이고, 음수를 음수로 나눈 \(\tan\theta\)는 양수이다.
새 문제로 검증하기
점 \(P(-3,4)\)가 나타내는 각을 \(\theta\)라 하자. 이 점은 제2사분면에 있으므로
\[ \sin\theta>0,\qquad \cos\theta<0,\qquad \tan\theta<0 \]
이다. 실제로 \(r=5\)이므로 \(\sin\theta=\frac45\), \(\cos\theta=-\frac35\), \(\tan\theta=-\frac43\)가 되어 부호 판단과 일치한다.
최종 확인
부호 조합이 \(\sin\theta<0,\ \cos\theta<0,\ \tan\theta<0\)이라면 올바른 보기가 아니다. 앞의 두 값이 모두 음수이면 그 비인 탄젠트는 반드시 양수이기 때문이다. 방서동과외에서 이 유형을 다룰 때도 사분면 확인 후 \(x,y\)의 부호를 먼저 적고, 마지막에 \(\tan\theta=\frac{y}{x}\)로 검산하면 암기에 의존한 오류를 줄일 수 있다.