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방서동 고2수학과외

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보기에서 출발하는 삼각함수 부호 판단

좌표평면에서 점 \(P(x,y)\)가 제3사분면에 놓여 있을 때, \(\sin\theta\), \(\cos\theta\), \(\tan\theta\)의 부호를 묻는 문제를 살펴보자. 점의 위치만 알면 복잡한 계산 없이 세 함수의 부호를 결정할 수 있다.

사분면 x y sinθ cosθ tanθ
제1사분면+++++
제2사분면-++--
제3사분면----+
제4사분면+--+-

오답이 생긴 지점

학생은 제3사분면에서 \(\sin\theta<0\), \(\cos\theta<0\)까지는 맞게 판단했지만, \(\tan\theta\)도 음수라고 답했다. 함수값 표를 순서대로 외우면서 \(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)라는 관계를 확인하지 않은 것이 원인이었다.

좌표 부호를 함수값으로 연결하기

정의에서 다시 확인

점 \(P(x,y)\)가 원점에서 각 \(\theta\)의 방향에 놓이고 \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)라면

\[ \sin\theta=\frac{y}{r},\qquad \cos\theta=\frac{x}{r},\qquad \tan\theta=\frac{y}{x} \]

이다. \(r\)은 항상 양수이므로 \(\sin\theta\)의 부호는 \(y\), \(\cos\theta\)의 부호는 \(x\)와 같다. 따라서 제3사분면에서는 \(x<0,\ y<0\)이므로 \(\sin\theta<0,\ \cos\theta<0\)이고, 음수를 음수로 나눈 \(\tan\theta\)는 양수이다.

새 문제로 검증하기

점 \(P(-3,4)\)가 나타내는 각을 \(\theta\)라 하자. 이 점은 제2사분면에 있으므로

\[ \sin\theta>0,\qquad \cos\theta<0,\qquad \tan\theta<0 \]

이다. 실제로 \(r=5\)이므로 \(\sin\theta=\frac45\), \(\cos\theta=-\frac35\), \(\tan\theta=-\frac43\)가 되어 부호 판단과 일치한다.

최종 확인

부호 조합이 \(\sin\theta<0,\ \cos\theta<0,\ \tan\theta<0\)이라면 올바른 보기가 아니다. 앞의 두 값이 모두 음수이면 그 비인 탄젠트는 반드시 양수이기 때문이다. 방서동과외에서 이 유형을 다룰 때도 사분면 확인 후 \(x,y\)의 부호를 먼저 적고, 마지막에 \(\tan\theta=\frac{y}{x}\)로 검산하면 암기에 의존한 오류를 줄일 수 있다.

방서동 고2수학과외 학부모 후기

새 문제집을 처음 펼친 날, 책상 주변을 정리하다가 어려운 문제 옆에 별표가 아닌 계산 줄 번호가 적혀 있는 걸 보게 됐어요. 어디가 막혔는지 표시도 없이 지나가던 아이였는데, 이번에는 다시 확인할 부분을 눈에 보이게 남겨 두었더라고요. 방서동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 작은 변화가 있는지 집에서 유심히 보게 됐어요. 새로운 서술형 문제를 풀던 날에도 비슷한 표시가 눈에 들어왔습니다. 문제 전체에 표시를 크게 해둔 게 아니라, 나중에 다시 볼 계산 줄 번호만 짧게 적어뒀어요. 예전에는 어려운 부분을 그냥 넘기고 흔적을 남기지 않았는데, 이제는 어디를 다시 살펴봐야 할지 계산 과정 안에 남겨두는 모습이 보이더라고요.

★★★★★학부모 후기

방학 중 다른 교재를 풀다가 아이가 풀이 두 개를 옆으로 맞춰 놓고, 서로 달라지기 시작한 부분에 작은 표시를 해두었어요. 답이 맞는지만 보던 모습과는 달라서 잠깐 손을 멈추고 보게 됐습니다. 필요한 부분만 남긴 뒤에는 교재를 정리했어요. 방서동 수학과외 후기를 찾아보며 여러 생각이 들었던 때인데, 집에서 보이는 장면은 의외로 소박했습니다. 학교에서 돌아온 어느 오후에도 문제를 풀고 나서 풀이를 나란히 적더라고요. 두 과정이 처음 갈라지는 단계를 따로 짚어 놓았고요. 예전에는 맞았는지 틀렸는지를 중심으로 흔적을 남겼다면, 이제는 계산 결과보다 풀이가 바뀐 지점을 먼저 살피는 모습이 보이더라고요. 같은 답인지 확인하는 데서 끝나지 않고, 어느 단계부터 달라졌는지 표시해 둔 것이 가장 눈에 띄었습니다.

★★★★★학부모 후기

수행평가가 겹쳐 숙제가 많이 남은 날에도 방서동 수업에 가기 전, 아이가 막힌 문제를 표시하고 질문을 준비하는 모습이 눈에 띄었습니다. 선생님은 쉬운 문제부터 풀며 부담을 낮춰 주셨고, 틀린 답도 이유를 차분히 살피게 했습니다. 요즘은 답이 틀려도 바로 포기하지 않고 한 번 더 확인합니다.

★★★★★학부모 후기

방서동에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 틀린 문제를 다시 펼쳐보는 모습이 눈에 띄었습니다. 선생님은 학교 과제와 시험 일정을 살펴 그 주의 수업량을 조절하고, 질문이 서툰 아이도 부담 없이 풀이 과정을 말하도록 기다려 주셨습니다. 예전처럼 어려운 문제를 바로 피하지 않고, 세운 공부 계획을 조금씩 지켜 가는 변화가 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기

방서동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 아이는 모르는 문제를 혼자 붙잡기보다 답지를 먼저 보는 편이었습니다. 선생님은 늦은 시간까지 과제가 남은 날에도 할 수 있는 양으로 나누고, 처음 질문을 꺼내기 부담 없이 기다려 주셨습니다. 몇 차례 지나자 숙제가 밀려도 손을 놓지 않고 쉬운 문제부터 다시 시작하는 모습이 눈에 띄었습니다.

★★★★★학부모 후기