삼산지구 고2수학과외







구멍 하나를 놓치면 연속점 판정이 달라진다
그래프에서 선이 자연스럽게 이어져 보인다는 이유만으로 연속이라고 판단하면 안 된다. 한 점 \(x=a\)에서 함수의 연속성을 확인하려면 함수값 \(f(a)\), 좌극한 \(\lim_{x\to a^-}f(x)\), 우극한 \(\lim_{x\to a^+}f(x)\)가 모두 같은지 비교해야 한다.
그래프의 세 표시를 따로 읽기
다음과 같은 그래프를 생각해 보자.
- \(x=2\)에서 왼쪽 그래프와 오른쪽 그래프가 모두 \(y=3\)으로 다가간다.
- 따라서 \(\lim_{x\to2^-}f(x)=3\), \(\lim_{x\to2^+}f(x)=3\)이다.
- 하지만 \(x=2\)에 뚫린 원은 \(y=3\), 실제 함수값을 나타내는 채워진 점은 \(y=1\)에 있다.
이때 좌극한과 우극한은 같지만 \(f(2)=1\)이므로 세 값이 일치하지 않는다. 따라서 \(x=2\)에서 함수는 연속이 아니다.
처음 판단이 틀린 이유
이어져 보이는 것과 연속인 것은 다르다
최초 풀이에서는 그래프의 곡선이 끊기지 않고 이어져 보인다는 점만 근거로 \(x=2\)를 연속점이라고 판단했다. 그러나 그래프에 구멍이 있거나, 해당 점의 함수값을 나타내는 채워진 점이 다른 높이에 있으면 연속이 성립하지 않는다.
연속의 조건은 다음 세 식을 동시에 만족하는 것이다.
\[ \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a) \]
구멍을 채우는 값
이번에는 \(x=2\)에서 \(f(2)\)가 정해져 있지 않고, 그래프의 양쪽 극한이 모두 \(3\)이라고 하자. 이 구멍을 채워 연속으로 만들려면
\[ f(2)=3 \]
으로 정의해야 한다. 반대로 \(f(2)=1\)로 정하면 그래프의 극한과 함수값이 달라져 불연속이다.
후보를 줄이며 최종 확인하기
| 점 | 좌극한 | 우극한 | 함수값 | 판정 |
|---|---|---|---|---|
| \(x=1\) | 2 | 2 | 2 | 연속 |
| \(x=2\) | 3 | 3 | 1 | 불연속 |
| \(x=3\) | 4 | 5 | 4 | 불연속 |
\(x=1\)에서는 세 값이 모두 \(2\)이므로 연속이다. \(x=2\)에서는 좌극한과 우극한은 같지만 함수값이 달라 불연속이다. \(x=3\)에서는 좌극한과 우극한부터 다르므로 함수값을 어떻게 정해도 연속으로 만들 수 없다.
그래프 해석 문제를 공부할 때는 삼산지구과외처럼 풀이 과정을 점검하는 학습에서도 먼저 좌극한과 우극한을 비교한 뒤 함수값을 확인해야 한다. 최종적으로는 세 값의 정확한 일치 여부만으로 연속점을 결정한다.
비슷한 용어를 구분해서 정리하기
현재 단원에서 이름이 비슷한 개념 두 개를 골라 각각 무엇을 설명하는지 적어 보세요. 공통점만 외우기보다 서로 바꾸어 사용할 수 없는 조건을 찾아보면 차이를 이해하기 쉽습니다. 수업에서는 용어 정의를 반복하는 대신 두 개념을 구별해야 하는 예를 질문할 수 있습니다.
과목별 질문 자료를 따로 준비하기
상담에서 여러 과목의 어려움을 이야기하려면 각 과목의 최근 풀이를 하나씩 골라 보세요. 한 과목에서 잘 풀린 예도 함께 있으면 현재 가능한 학습 범위를 구분하기 좋습니다. 전체 수학 실력이라는 한 문장보다 실제 과목별 상황을 전달할 수 있습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
고2 점검 기준
실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.
수업 진행 예시
선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
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