해운대구 고등수학과외

해운대구 고등수학과외에서는 정답에 표시된 교점만 외우지 않고, 그 점이 그래프에서 어떤 근거로 확인되는지 다시 추적한다. 해운대고등학교와 부흥고등학교 학생의 학교자료를 살펴보던 중, 유리함수와 직선의 교점이 \(x=5\)로 제시된 문제에서 점근선과 그래프 위치를 따로 읽는 장면이 눈에 띄었다. 부산광역시립해운대도서관이나 부산광역시립반송도서관에서 비슷한 유형을 복습할 때도 같은 오류가 반복됐다.

교점은 찾았지만 그래프의 위치를 설명하지 못한 순간

문제의 함수가 \(f(x)=2+\frac{3}{x-2}\), 비교하는 직선이 \(y=x-2\)라고 하자. 학생은 먼저 식을 같게 놓고 \(2+\frac{3}{x-2}=x-2\)를 계산했다. 양변에 \(x-2\)를 곱한 뒤 정리하면 \(x=5\)가 해로 나온다. 여기까지는 맞았다.

하지만 그래프를 보고 “교점은 어디인가?”를 묻자 학생은 \(x=5\)만 짚고 멈췄다. 유리함수의 수직점근선이 \(x=2\)라는 사실과, 그래프가 \(x=2\)의 왼쪽과 오른쪽에 나뉘어 있다는 사실을 교점의 위치와 연결하지 못한 것이다. 처음 잘못된 순간은 계산식이 아니라, 그래프에서 \(x=5\)를 읽으면서도 ‘점근선 오른쪽 가지에 있는 점’이라는 근거를 붙이지 않은 대목이었다.

교점의 좌표를 얻었다면 그 점이 어느 가지에 놓이는지, 점근선과의 위치 관계가 식에서도 확인되는지까지 말해 보자.

첫 기록을 지우지 않고 근거를 덧붙이는 교정

풀이를 새로 베껴 쓰게 하지 않고, 학생이 남긴 첫 풀이 옆에 근거식 번호를 붙였다. [1]은 \(x=5\)를 얻은 등식, [2]는 분모 조건 \(x\ne2\), [3]은 그래프의 수직점근선 \(x=2\)이다. 그다음 \(5-2=3>0\)을 계산해 교점이 점근선의 오른쪽 가지에 있음을 표시했다.

이제 \(f(5)=2+\frac{3}{3}=3\), 직선의 값도 \(5-2=3\)이므로 두 그래프가 \((5,3)\)에서 만난다. 또 \(x\)가 2에 가까워질 때 분모가 0에 가까워지므로 그래프가 \(x=2\)를 가로지를 수 없다는 점을 확인했다. 그래프 위치를 눈대중으로 고치는 대신, 분모 조건과 좌표의 부호를 연결한 셈이다.

다음 날에는 검산 방법을 바꿔 혼자 판정하기

다음 연습에서는 교점의 \(x\)좌표를 가리고 같은 함수 그림만 제시했다. 학생은 먼저 점근선 \(x=2\)를 찾고, 오른쪽 가지와 직선이 만나는 점의 가로좌표를 읽은 뒤 식으로 확인했다. 이번에는 \(x=5\)를 바로 쓰지 않고 \(f(x)=x-2\)에서 양변에 \(x-2\)를 곱해 얻은 식에 그래프에서 읽은 값을 대입했다.

조건을 바꾸어 \(f(x)=1+\frac{4}{x-3}\), 직선 \(y=x-3\)을 제시했을 때도 같은 방식으로 진행했다. 점근선은 \(x=3\)이고, 식을 정리하면 \(1+\frac{4}{x-3}=x-3\)이다. \(x=5\)를 대입하면 왼쪽은 3, 오른쪽은 2가 되어 교점이 아니다. 이 불일치를 보고 그래프에서 읽은 위치를 그대로 믿지 않고 다시 판정했다. 계산 결과를 억지로 맞추지 않고, 그림 읽기가 틀릴 수 있음을 확인한 장면이다.

마지막에는 다른 경로로 확인한다

처음 문제의 \(x=5\)는 원식에 재대입하는 것으로 끝내지 않았다. \(x=5\)에서 두 함수의 값이 모두 3인지 확인하고, \(x=2\)는 분모가 0이므로 후보가 될 수 없음을 따로 적었다. 이어 \(x>2\)인 구간에서 유리함수의 값이 \(2\)보다 커진다는 점을 살펴보면 \((5,3)\)이 오른쪽 가지에 놓인다는 결론이 그래프와도 맞는다. 식의 해, 분모의 제한, 그래프의 점근선 위치가 서로 같은 결론을 내릴 때 풀이가 완성된다.

자주 묻는 내용

점근선은 교점이 될 수 없나요?

수직점근선은 해당 \(x\)에서 분모가 0이 되므로 함수가 정의되지 않는다. 따라서 그래프가 그 선을 교점으로 가질 수 없다.

그래프에서 좌표를 읽었으면 계산은 생략해도 되나요?

읽은 좌표를 원식에 대입해 두 함수값이 같은지 확인해야 한다. 그림의 눈금이나 교점 표시가 정확하지 않을 수 있다.

수직점근선의 오른쪽 가지인지 어떻게 판단하나요?

교점의 \(x\)좌표와 점근선의 \(x\)좌표를 비교한다. \(x_0-a>0\)이면 \(x=a\)의 오른쪽, \(x_0-a<0\)이면 왼쪽이다.

분모에 곱한 뒤 생긴 해는 모두 인정하나요?

아니다. 양변에 분모를 곱하기 전의 정의역 조건을 유지해야 한다. 분모를 0으로 만드는 값은 정리된 식의 해처럼 보여도 제외한다.

교점의 \(x\)좌표만 구하면 충분한가요?

문제가 좌표를 요구한다면 구한 \(x\)를 두 함수 중 하나에 대입해 \(y\)까지 확인해야 한다. 그래프 위치와 원식 재대입도 함께 기록하면 오류를 찾기 쉽다.