사상구 고3수학과외

경계에서 무너진 코사인법칙 판단을 다시 세운 사례

사상구의 모라주공1단지와 사상도서관 사이 생활권에서 고3수학과외를 진행하던 중, 학생의 풀이 한 줄이 눈에 들어왔다. 문제는 두 변의 길이가 2, 3이고 그 끼인각의 맞은편 변을 \(x\)라 할 때, 가능한 \(x\)의 범위와 각의 종류를 판단하는 내용이었다. 학생은 코사인법칙을 적용해

\(x^2=2^2+3^2-2\cdot2\cdot3\cos C=13-12\cos C\)

까지는 정확히 적었다. 그러나 곧바로 “\(-1\le\cos C\le1\)이므로 \(1\le x\le5\)”라고 결론 내렸다. 겉보기에는 익숙한 범위 처리였지만, 삼각형의 각은 0°나 180°가 될 수 없다는 조건이 빠져 있었다.

끝점에서 식의 의미가 달라지는 순간

오류는 계산 중간이 아니라, 코사인의 범위를 그대로 등호까지 허용한 첫 줄에서 시작됐다. \(x=1\)이면 \(\cos C=1\)이므로 \(C=0^\circ\), \(x=5\)이면 \(\cos C=-1\)이므로 \(C=180^\circ\)가 된다. 두 경우 모두 세 점이 일직선에 놓이는 퇴화한 경우이지 삼각형이 아니다. 따라서 실제 범위는

\(-1<\cos C<1\), 즉 \(1<x<5\)

이다. 학생은 일반적인 길이 범위 공식을 외운 뒤 경계값에도 그대로 적용했으며, 이 때문에 뒤에서 “\(x=5\)일 때 둔각”이라는 잘못된 설명까지 이어졌다. 그래프를 그려 보니 \(x\)가 1과 5에 가까워질수록 각이 각각 0°와 180°에 가까워졌지만, 끝점 자체가 삼각형의 내부각으로 표시되지 않는다는 점도 확인했다.

일반 구간과 예외 경계를 따로 기록하다

교정은 복잡하지 않았다. 학생은 풀이 첫 줄 옆에 “삼각형의 각: \(0^\circ<C<180^\circ\)”를 먼저 적고, 일반 구간과 경계값을 분리했다. 그다음 코사인법칙에서 각의 종류를 판단하는 기준도 따로 표시했다.

• \(0^\circ<C<90^\circ\)이면 \(\cos C>0\), 따라서 \(x^2<13\)
• \(C=90^\circ\)이면 \(x^2=13\)
• \(90^\circ<C<180^\circ\)이면 \(\cos C<0\), 따라서 \(x^2>13\)

즉 \(1<x<5\)라는 존재 조건 안에서 \(x=\sqrt{13}\)을 경계로 예각, 직각, 둔각이 나뉜다. 전체 풀이를 다시 계산하는 대신, 결론을 바꿀 위험이 있는 끝점 \(x=1,5\)와 부호가 바뀌는 \(x=\sqrt{13}\)만 원래 식에 대입해 확인했다. 사용하지 않은 외접원 정보가 함께 제시된 변형에서는 그 조건을 별도 표시하고, 현재 결론에 직접 쓰이지 않는다는 점도 구분했다. 사상구고3수학과외 수업에서 이 기록 방식을 적용하자 학생은 ‘주어진 정보는 모두 계산해야 한다’는 습관도 함께 고쳤다.

조건을 바꾼 문제에서 같은 기준을 꺼내다

다음 날에는 해설을 가린 채, 두 변의 길이가 4와 5이고 그 끼인각의 맞은편 변이 \(t\)인 문제를 제시했다. 이번에는 각의 범위를 직접 묻지 않고, \(t\)가 변할 때 세 변이 삼각형을 이루는 조건과 맞은편 각의 종류를 비교하게 했다.

학생은 먼저 \(0^\circ<A<180^\circ\)를 적은 뒤

\(t^2=4^2+5^2-2\cdot4\cdot5\cos A=41-40\cos A\)

라고 근거를 밝혔다. 이어 \(-1<\cos A<1\)에서 \(1<t<9\)를 얻고, \(t=\sqrt{41}\)에서 코사인의 부호가 바뀐다고 판단했다. 이번에는 숫자만 외워 적용한 것이 아니라, 각의 범위와 함수값의 관계를 분리해 사용한 것이다. 그래프에서 \(t\)가 1 또는 9에 닿으면 각이 0° 또는 180°로 수렴한다는 점도 계산 결과와 대조했다.

마지막으로 풀이 중간 한 줄을 가리고 “왜 \(1<t<9\)인가?”를 물었다. 학생은 삼각형 부등식으로도 같은 경계를 확인한 뒤, \(t=1,9\)를 원래 코사인식에 다시 넣어 퇴화 여부를 설명했다. 경계 전후의 해석도 \(t<\sqrt{41}\)이면 예각, \(t=\sqrt{41}\)이면 직각, \(t>\sqrt{41}\)이면 둔각이라고 스스로 복원했다. 사상구고3수학과외에서 확인한 최종 변화는 정답보다 먼저 경계를 찾고, 결론을 바꾸는 줄만 검산하는 판단이 새로운 코사인법칙 문제에서도 유지됐다는 점이다.