대연동 중3수학과외

대연동 중3수학과외, 전개 전에 결과의 모양을 읽는 연습

대우그린1차아파트와 책나루작은도서관이 있는 생활권에서 중3수학과외를 진행하며, 이번에는 다항식의 곱셈 자체보다 전개한 뒤 차수와 항 개수를 어떻게 예상할지에 초점을 맞췄습니다. 대연중학교가 포함된 생활권에서도 자주 만나는 유형이지만, 학교별 문제 경향을 단정하기보다 실제 풀이 기록을 통해 한 가지 판단만 살펴보았습니다.

식의 모양을 먼저 읽지 않아 생긴 한 줄의 누락

주말 복습 때 학생은 다음 두 식을 나란히 적었습니다.

(x+3)(2x-5)와 (x-1)(x+4)

첫 번째 식에는 x·2x=2x², x·(-5)=-5x, 3·2x=6x, 3·(-5)=-15라고 적었습니다. 이어서 -5x+6x를 x로 묶어 2x²+x-15를 얻었습니다. 이 식은 차수가 2이고, 동류항을 정리한 뒤 항이 3개라는 예상과도 맞았습니다.

그런데 두 번째 식에서는 곧바로 “앞의 x끼리, 뒤의 수끼리 곱한다”고 생각해 x²+4x-x-4를 적은 뒤, 이를 x²+3x-4로 정리했습니다. 계산 결과 자체만 보면 맞는 식처럼 보이지만, 학생은 첫 번째 식을 볼 때 사용했던 항별 곱의 기록을 두 번째 표현에서는 생략했습니다. 이때의 최초 판단은 계산 중 부호를 틀린 것이 아니라, 표현이 바뀌었다는 이유로 모든 항이 한 번씩 곱해져야 한다는 확인을 건너뛴 것이었습니다.

전개 전의 예상과 실제 항을 연결하기

두 식 모두 일차식 두 개의 곱이므로, 전개하면 가장 높은 차수는 2차가 됩니다. 다만 네 번의 곱에서 만들어진 항 중 일부가 동류항이 될 수 있으므로, 정리 뒤 항 개수는 네 개로 고정되지 않습니다.

• (x+3)(2x-5) → 네 번 곱한 뒤 x항 두 개가 합쳐져 2x²+x-15
• (x-1)(x+4) → 네 번 곱한 뒤 x항 두 개가 합쳐져 x²+3x-4

교정은 한 가지 행동으로 제한했습니다. 괄호를 보자마자 결과를 추측해 쓰지 않고, 왼쪽 괄호의 각 항을 오른쪽 괄호의 모든 항과 차례로 곱해 네 줄을 남기는 것입니다. 첫 번째 식에서 이미 맞았던 계산은 그대로 두고, 두 번째 식만 다음처럼 다시 적었습니다.

x·x=x²
x·4=4x
(-1)·x=-x
(-1)·4=-4
따라서 x²+4x-x-4=x²+3x-4

이제 전개 전에는 “최고차항은 x와 x의 곱에서 생기는 2차항, 나머지는 네 곱에서 나온 항이며 같은 차수의 항은 정리될 수 있다”라고 예상하고, 전개 후에는 실제로 그 예상과 맞는지 확인했습니다. 핵심은 식의 숫자를 외우는 것이 아니라, 괄호의 위치와 부호가 달라져도 항별 곱의 관계를 유지하는 것입니다.

배열을 바꾼 식에서 다시 세운 전개

다음 시간에는 앞의 식을 다시 보여 주지 않고, 항의 순서와 부호가 다른 표현을 제시했습니다.

(-2y+1)(y²-3y+4)

학생은 먼저 “첫 번째 괄호의 최고차항 -2y와 두 번째 괄호의 최고차항 y²를 곱하므로 결과의 최고차항은 -2y³”이라고 적었습니다. 또 첫 번째 괄호의 두 항과 두 번째 괄호의 세 항을 모두 곱하므로, 정리 전에는 여섯 항이 생긴다고 예상했습니다. 이후 실제로 다음과 같이 기록했습니다.

• (-2y)·y²=-2y³
• (-2y)·(-3y)=6y²
• (-2y)·4=-8y
• 1·y²=y²
• 1·(-3y)=-3y
• 1·4=4

동류항을 모으면 -2y³+7y²-11y+4입니다. 전개 전 여섯 항에서 y²항 두 개와 y항 두 개가 각각 합쳐졌으므로, 정리한 뒤에는 네 항이 남았습니다. 앞에서 다룬 x 식의 배열이나 숫자를 그대로 따라 하지 않고, 부호가 앞에 붙은 항과 3항식이라는 새로운 표현에서도 같은 기준을 선택한 점이 중요했습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 기록

마지막에는 다음 문제를 풀이 방법에 대한 안내 없이 제시했습니다.

(3a-2)(a²+a-5)를 전개하고, 전개 전후의 차수와 항 개수를 설명하시오.

학생은 먼저 두 괄호의 항 수가 각각 2개와 3개이므로 정리 전에는 여섯 번의 곱이 필요하고, 최고차항은 3a·a²에서 나오는 3a³이라고 설명했습니다. 실제 계산은

3a·a²=3a³, 3a·a=3a², 3a·(-5)=-15a, (-2)·a²=-2a², (-2)·a=-2a, (-2)·(-5)=10

으로 남겼습니다. 따라서

3a³+3a²-15a-2a²-2a+10
=3a³+a²-17a+10

이라고 정리했습니다. 전개 전의 여섯 곱을 빠짐없이 적었고, 전개 후에는 a²항과 a항이 각각 합쳐져 네 항이 되었으며 최고차수는 3차라는 이유도 스스로 설명했습니다. 끝으로 a=2를 대입해 원래 식은 (6-2)(4+2-5)=4×1=4, 전개한 식은 24+4-34+10=4라고 비교했습니다. 새로운 식에서도 항별 곱, 차수, 항 개수, 대입 검산이 한 흐름으로 이어졌습니다. 이런 식으로 대연동중3수학과외에서는 다른 표현을 만나도 결과의 모양을 먼저 예상하고, 실제 전개와 대조하는 연습을 이어갑니다.