대연동 고2수학과외

한 식에서 시작하는 제곱합 검증

Σk² = 1²+2²+⋯+n²을 계산할 때 다음 공식이 제시되었다.

$Σ_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1)(2 n + 1)}{6}$

공식은 외워 두는 것보다 작은 자연수를 대입해 구조를 확인하는 편이 안전하다. 특히 $Σ_{k = 1}^{n} k$ 의 공식인 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 과 혼동하지 않아야 한다.

작은 값으로 공식 확인하기

n	직접 계산	공식 계산
1	1²=1	1·2·3÷6=1
2	1²+2²=5	2·3·5÷6=5

따라서 제곱합 공식의 인수는 n, n+1, 2n+1이고 분모는 6이다. n=1, 2에서 모두 일치하므로 적어도 공식의 형태를 잘못 기억한 것은 아닌지 점검할 수 있다.

풀이 첫 줄에서 생긴 혼동

학생의 풀이가 다음처럼 시작했다고 하자.

$Σ_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1)}{2}$

이 식은 제곱합이 아니라 자연수의 합 공식이다. 예를 들어 n=2이면 오른쪽은 3이지만 실제 제곱합은 5이므로 바로 오류를 확인할 수 있다. 공식의 기호에서 제곱 여부를 먼저 살피는 것이 핵심이다.

상한이 n-1일 때

상한이 n-1인 제곱합은 전체 제곱합에서 마지막 항을 빼면 된다.

$Σ_{k = 1}^{n - 1} k^{2} = Σ_{k = 1}^{n} k^{2} - n^{2}$

따라서

$Σ_{k = 1}^{n - 1} k^{2} = \frac{n (n + 1)(2 n + 1)}{6} - n^{2}$

예를 들어 n=3이면 1²+2²=5이고, 전체 합 14에서 3²을 뺀 5와 일치한다.

보기에서 공식 고르기

다음 보기 중 $Σ_{k = 1}^{n} k^{2}$ 의 공식으로 옳은 것을 고르면 된다.

① $\frac{n (n + 1)}{2}$
② $\frac{n (n + 1)(2 n + 1)}{6}$
③ $\frac{n (n - 1)(2 n - 1)}{6}$

n=1을 대입하면 ①은 1, ②는 1, ③은 0이다. n=2를 추가로 대입하면 ①은 3, ②는 5, ③은 1이므로 정답은 ②이다.

이처럼 대연동과외에서 이 유형을 점검할 때도 공식 자체를 반복 암기하기보다 n=1, 2를 대입하고, 상한이 n-1이면 마지막 항을 빼는 방식으로 검증하면 풀이의 오류를 빠르게 찾을 수 있다.

대연동 고2수학과외 학부모 후기

학교 수행평가 준비를 펼쳐 놓은 날, 아이가 숫자부터 따라가지 않고 문제 안의 조건 문장을 먼저 짚어 보더라고요. 어디까지 읽었는지 다음에 이어 볼 자리도 정해 두고 나서야 계산할 부분을 살폈어요. 예전에는 자료에 자기 판단의 근거를 따로 남기지 않아서 시간이 지나 다시 보면 왜 그렇게 풀었는지 알기 어려웠거든요. 친구와 공부하고 돌아온 저녁에도 비슷한 장면을 봤습니다. 별말 없이 문제를 한 번 더 읽는데, 수치에 바로 동그라미 치는 대신 조건이 적힌 문장에 먼저 표시를 하더라고요. 대연동 수학과외 이야기를 나누며 집에서 보이는 이런 모습을 유심히 보고 있었는데, 이번에는 표시 덕분에 아이가 어떤 조건을 기준으로 문제를 읽었는지 눈에 바로 들어왔어요.

★★★★★학부모 후기

새 계산 파일을 재생하다가 마지막에 검산할 문제 번호만 한쪽에 따로 모아 둔 게 눈에 띄었어요. 그냥 지나칠 수도 있었는데, 어떤 문제를 다시 볼지 번호부터 추려 놓았더라고요. 대연동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 부분은 아이가 직접 챙기는지 유심히 보게 됐습니다. 금요일 밤에 공부를 마친 뒤 시험지를 정리하는 모습도 비슷했어요. 예전에는 다시 확인할 자료를 정해도 범위가 넓어서 어디를 봐야 할지 뚜렷하지 않았거든요. 그런데 이번에는 시험지 한쪽에 검산할 문제만 따로 적어 두고, 나중에 볼 자료를 다른 곳으로 옮기지 않은 채 원래 자리에 표시해 뒀습니다. 마지막에 남은 건 여러 문제가 아니라 검산할 번호 몇 개였어요.

★★★★★학부모 후기

대연동에서 수학을 배우기 시작한 뒤, 아이가 어려운 단원을 만나도 풀이를 대충 넘기지 않고 틀린 문제를 다시 살펴보는 모습이 눈에 띄었습니다. 시험 준비 때 선생님은 혼자 풀 수 있는 부분은 기다려 주고 막히는 순간에만 힌트를 주셔서 스스로 이어 갈 시간을 마련해 주셨습니다. 수업 이야기를 들으면 조용하던 아이의 대답도 전보다 한결 편안해졌습니다.

★★★★★학부모 후기

방학 공부 계획을 세우며 대연동 수학과외를 시작했는데, 아이는 전부터 기분 내키는 만큼만 공부하고 어려운 문제는 답지를 먼저 보곤 했습니다. 선생님은 수업 전 지난 내용을 짧게 물으며 기억나는 부분부터 천천히 이어 갔고, 시간 제한 없이 풀어 보는 과정에서 아이의 준비 상태도 세심하게 살펴주셨습니다. 요즘은 결과만 조급하게 보지 않고 스스로 공부 과정을 돌아보려는 모습이 보여 마음이 놓입니다.

★★★★★학부모 후기

주말 오전이면 수학 숙제를 미루던 아이가 대연동 수업을 다녀온 뒤에는 먼저 책상에 앉는 날이 늘었습니다. 모르는 문제를 틀릴까 봐 숨기던 아이에게 선생님은 반응을 살피며 같은 내용도 다른 말로 차분히 설명하고, 그날 할 일과 다음에 복습할 부분을 나눠 주셨습니다. 시험 일주일 전에도 부담을 주기보다 격려해 주셔서 수학 이야기를 피하던 아이가 이제는 막힌 부분을 먼저 말합니다.

★★★★★학부모 후기