주안지구 중1수학과외

주안지구 중1수학과외에서 살펴본 수직과 수선 풀이

대성유니드 아파트와 도화e편한세상아파트가 있는 생활권에서 진행한 한 풀이에서 학생은 수직과 수선을 구분하는 순간 멈췄다. 인주중학교가 포함된 생활권의 문제지에는 직선 ℓ 위에 점 B가 있고, B를 지나 직선 ℓ과 만나는 선분 BA가 그려져 있었다. 그림에는 두 선이 직각으로 만나는 표시가 있었지만, 선분의 길이나 그림의 기울기는 따로 주어지지 않았다.

오답의 끝이 아니라 첫 판단을 되짚다

학생은 답안에 “BA는 ℓ에 수직이고, B는 수선의 발이다”라고 적었다. 결론 자체는 맞았지만, 풀이 과정을 거꾸로 확인하자 첫 판단에서 문제가 드러났다. 학생은 직각 표시를 확인하기 전에 “BA가 세로로 그려져 있으니 ℓ과 수직”이라고 판단했고, 그 뒤에 표시를 덧붙였다.

“그림이 기울어져 있거나 방향이 바뀌면 같은 판단을 할 수 있을까?”

학생이 실제로 그린 보조 그림에서는 직선 ℓ을 비스듬히 놓고 BA를 거의 가로로 표시했다. 두 선이 눈으로 보기에는 직각처럼 보이지 않자, 이번에는 수직이 아니라고 적으려 했다. 이 장면에서 계산이 아니라 그림의 모양을 근거로 삼은 것이 오류의 출발점임을 확인했다.

직각 표시와 점의 위치를 기준으로 다시 읽기

교정은 한 가지로 좁혔다. 선의 방향을 보지 않고, 문제에 실제로 표시된 직각과 교점의 위치를 먼저 확인하는 것이다. 학생은 그림에서 B를 두 직선이 만나는 점으로 동그라미 치고, 직각 표시를 따라 두 선 사이의 각을 표시했다. 이어 다음과 같이 문장을 다시 썼다.

• BA와 ℓ은 B에서 만난다.
• B에서 만들어진 각이 직각이다.
• 따라서 BA는 ℓ에 수직이다.
• 수직인 선분이 직선 ℓ과 만나는 점 B가 수선의 발이다.

이제 “세로로 보인다”는 근거는 지우고, 정의에 필요한 두 조건만 남겼다. 수직은 두 직선이 직각으로 만나는 관계이고, 수선은 한 직선에 수직으로 그은 선이라는 점도 문제의 그림 안에서 연결했다.

그림을 문장과 표로 바꾸어 적용하기

다음 문제는 그림 대신 문장으로 제시되었다. “직선 m 위의 점 Q를 지나고, m과 90°로 만나는 직선 n을 그었다. n과 m의 교점은 무엇이며, n과 m의 관계를 말하라.” 학생은 이번에는 선의 모양을 상상해 임의로 그리지 않고, 먼저 Q를 m 위에 표시했다. 그다음 Q를 지나도록 n을 그리고, 두 선이 직각으로 만난다는 조건을 직각 표시로 옮겼다.

답안에는 “교점은 Q이고, n은 m에 수직이다”라고 적었다. 이어 표의 두 번째 줄에 “m에 수직인 선 n이 m을 만나는 점: Q”라고 정리했다. 질문의 순서가 관계를 먼저 묻는 방식으로 바뀌었지만, 직각과 교점이라는 같은 근거를 찾아 답했다. 보기 중 다른 선이 m과 비슷한 방향으로 놓여 있어도 직각 표시가 없으면 후보에서 제외했다.

점 이름과 배치를 바꾼 독립 확인

인화여자중학교와 용현여자중학교가 포함된 생활권을 참고해 만든 마지막 연습에서는 도형을 90도 돌려 놓았다. 직선 r은 세로로, 선분 ST는 가로로 그려졌고, S는 r 위에 있었다. 문제는 “T에서 r에 내린 수선의 발을 구하라”가 아니라 “S를 지나 r에 수직인 선분의 이름과 수선의 발을 쓰라”로 바뀌었다.

학생은 그림을 보자마자 답하지 않고, r 위에 있는 점이 S인지 먼저 확인했다. ST가 S를 지나고 r과 직각으로 만난다는 표시를 확인한 뒤 “ST는 r에 수직, 수선의 발은 S”라고 적었다. 도형의 방향과 점 이름이 달라졌어도 수선의 발을 선분의 끝점 T로 잘못 고르지 않았다. 수선의 발은 수선이 원래 직선과 만나는 점이라는 이유까지 덧붙였다.

힌트 없이 원래 조건을 다시 검산하다

학생에게 처음 문제의 그림을 다시 보여 주되, 직각 표시와 설명을 가린 상태에서 스스로 조건을 읽게 했다. 학생은 “BA가 ℓ과 만나는 점은 B이고, 문제에서 그 각이 직각이라고 했으므로 BA는 ℓ에 수직이다. 따라서 B가 수선의 발이다”라고 말했다. 이어 표시를 다시 열어 자신의 문장과 대조했다.

이번 검산에서는 그림의 방향이나 선분의 길이를 근거로 삼지 않았다. 직각 표시, 교점 B, 수직 관계를 차례로 확인했으며, 조건이 바뀌면 먼저 어느 점이 원래 직선 위에 있는지부터 찾겠다고 설명했다. 주안지구과외에서 다룬 이 장면은 주안지구중1수학과외의 수직과 수선 문제에서, 보이는 모양보다 주어진 표시와 정의를 먼저 읽는 풀이로 이어졌다.