주안지구 고등수학과외

주안지구 고등수학과외에서 통계 단원을 다룰 때 학생들이 자주 멈추는 지점은 자료의 변환이 평균과 표준편차에 미치는 영향을 한꺼번에 판단하는 순간이다. 학익여자고등학교나 인천고등학교의 학교자료를 참고해 표본 문제를 연습하더라도, 계산보다 먼저 변환식의 모양을 읽어야 한다. 대성유니드 아파트와 도화지구 생활권에서 통학하는 학생의 풀이에서도 비슷한 장면이 나타난다. 표본의 크기가 23이라는 정보가 눈에 들어오면 학생은 n을 표준편차 공식에 대입하려 하지만, 실제 판단 대상은 각 자료값에 더해졌는지, 곱해졌는지이다.

표준편차 문제에서 처음 잘못되는 순간

예를 들어 자료의 평균이 12, 표준편차가 4인 표본이 있다고 하자. 모든 자료값을 5만큼 크게 바꾼 뒤 평균과 표준편차의 변화를 묻는 문제에서 학생은 다음과 같이 적었다.

“자료가 전부 커졌으므로 평균도 커지고 표준편차도 커진다.”

첫 오류는 ‘커졌다’는 말만 보고 자료의 퍼짐까지 커졌다고 판단한 데 있다. 실제로 첫식은 각 자료를 x_i+5로 바꾸는 것이다. 새 평균은 x̄+5가 되지만, 각 자료와 새 평균의 차이는 (x_i+5)-(x̄+5)=x_i-x̄로 그대로 남는다. 따라서 평균은 5만큼 이동하고 표준편차는 변하지 않는다. 표본 n=23이라는 조건은 표준편차를 계산할 때 분모에 들어갈 수 있지만, 일정한 수를 더한 변환의 영향 자체를 바꾸지는 않는다.

첫식을 표시해 변환의 성격을 구분하기

수업에서는 학생이 답을 고르기 전에 변환된 자료를 한 줄로 적게 한다. ‘각 자료에 5를 더한다’면 x_i→x_i+5, ‘각 자료를 2배 한다’면 x_i→2x_i처럼 표시한다. 이 한 줄이 있으면 더하기와 곱하기를 같은 방식으로 처리하기 어렵다.

x_i→x_i+c: 평균은 c만큼 변하고 표준편차는 변하지 않는다.
x_i→ax_i: 평균은 a배가 되며 표준편차는 |a|배가 된다.
x_i→ax_i+c: 표준편차에는 |a|만 영향을 주고 c는 영향을 주지 않는다.

예·반례를 함께 비교하면 교정이 빠르다. 자료가 2, 4, 6일 때 각각에 10을 더하면 12, 14, 16이 되어 중심만 이동한다. 반면 2배하면 4, 8, 12가 되어 자료 사이의 거리도 2배가 된다. 학생은 두 결과의 평균만 계산하지 않고, 평균에서 각 자료까지의 차를 나란히 적어 표준편차가 무엇을 측정하는지 확인한다.

새 조건으로 혼자 판단하기

다음 날에는 표본 크기 23이라는 조건을 유지하되, ‘모든 자료를 좌표평면에서 오른쪽으로 7만큼 평행이동한다’는 표현으로 바꾼 문제를 제시한다. 학생은 이를 x좌표에 7을 더하는 변환으로 해석해야 한다. 평균의 x좌표는 7만큼 이동하지만 점들 사이의 가로 간격은 그대로이므로 x좌표의 표준편차는 변하지 않는다. 세로 좌표까지 함께 바뀐다고 단정하지 않고, 문제에서 변환한 좌표만 골라 판단하는지도 살핀다.

조건을 조금 더 바꾸어 각 자료를 -3배한 경우에는 부호가 바뀌어 평균의 위치는 반대 방향으로 이동하지만 표준편차는 3배가 된다. 음수 배율에서 표준편차가 음수가 되지 않는 이유를 |a|로 설명하게 하면 단순 암기인지 확인할 수 있다.

평균과 표준편차를 같은 방식으로 보면 생기는 반례

마무리에서는 평균의 변화와 표준편차의 변화를 같은 규칙으로 보았던 처음의 생각을 다시 점검한다. 원자료의 평균이 20.3, 표준편차가 3.0인 33개 자료에 4를 더하면 새 평균은 24.3이지만 표준편차는 3.0이다. 또 평균 7.9, 표준편차 9.7인 26개 자료를 2배하면 평균은 15.8, 표준편차는 19.4가 된다. 이 두 사례는 표본 수가 달라도 변환 규칙이 같으면 영향의 원리가 같다는 점을 보여준다.

최종 검산은 원자료의 편차를 다시 대입하는 방식으로 진행한다. x_i+c 변환 뒤의 편차가 원래 편차와 같은지 직접 확인하고, ax_i 변환 뒤에는 편차가 a(x_i-x̄)로 바뀌는지 확인한다. 평균은 움직였지만 편차의 크기는 그대로인 경우를 분리해 설명할 수 있다면, 표준편차 문제의 첫 오류를 스스로 찾아 고친 셈이다.

자주 묻는 내용

표본 수가 바뀌면 변환 법칙도 달라지나요?

아니다. 표본 수는 계산 공식의 분모와 관련되지만, 일정한 수를 더하거나 일정한 배수를 곱하는 변환의 기본 원리는 같다.

모든 자료에 같은 수를 빼면 표준편차가 줄어드나요?

줄어들지 않는다. 자료 전체가 같은 방향으로 이동할 뿐 자료 사이의 차는 보존된다.

음수를 곱하면 표준편차도 음수가 되나요?

아니다. 표준편차는 거리의 크기이므로 배율의 절댓값인 |a|배가 된다.

평균이 변하면 표준편차도 반드시 변하나요?

아니다. 일정한 수를 더하는 경우처럼 평균만 이동하고 퍼짐은 그대로일 수 있다.

좌표 이동 문제에서 무엇을 먼저 보나요?

어느 좌표가 어떻게 변했는지 식으로 적은 뒤, 평균의 위치 변화와 자료 간 거리 변화를 따로 확인한다.