대전서구 중2수학과외
표현이 달라져도 이어지는 일차부등식의 판단
대전서구과외 수업에서 학생은 일차부등식의 계산보다 수직선 표현으로 바꾸는 순간 자주 멈췄다. 대전서구중2수학과외에서는 큰마을과 래미안이 있는 생활권, 갈마도서관 인근 생활권에서 접할 수 있는 생활 장면처럼 문제의 문장을 먼저 읽고, 계산 결과와 수직선의 표시를 연결하는 데 초점을 맞췄다. 대전문정중학교가 포함된 생활권의 문제를 참고하되 학교의 시험 수준을 단정하지 않고, 한 학생이 실제로 풀이를 고쳐 가는 과정만 기록했다.
수직선에서 먼저 드러난 한 줄의 오류
문제는 x-3≤5를 풀고 그 해를 수직선에 나타내라는 내용이었다. 학생은 식에서 3을 없애야 한다고 말하며 양변에 3을 더했다.
x-3≤5
x≤2
여기까지 식의 계산은 맞았다. 학생은 수직선에 2를 기준으로 점을 찍은 뒤 오른쪽으로 화살표를 그렸다. 그런데 2에는 빈 동그라미를 표시했다. 학생은 “2보다 작은 수만 들어가니까 빈 점”이라고 설명했다. 결과가 틀렸다는 사실보다 먼저 살펴봐야 할 판단은, 부등호의 끝점을 읽을 때 ≤의 ‘같아도 된다’는 조건을 열린 점으로 바꾸어 버린 것이었다.
학생은 원래 식에 x=2를 대입해 보지 않고, 숫자 2의 위치만 보고 점의 모양을 정했다. 따라서 계산 과정은 유지하되, 표현을 바꾸는 바로 그 단계에서 조건을 다시 확인할 필요가 있었다.
부등호와 점의 모양을 직접 대조하기
교정은 한 가지 기준으로 제한했다. 끝값을 넣을 수 있으면 닫힌 점, 넣을 수 없으면 열린 점으로 바꾸는 것이다. x≤2에서 x=2를 원래 부등식에 대입하면 2-3≤5, 즉 -1≤5가 되어 참이다. 그러므로 2는 해에 포함되고, 수직선에서는 닫힌 점이어야 한다. 학생은 빈 동그라미를 지우고 2에 색칠한 점을 다시 그린 다음, 2보다 작은 쪽까지 왼쪽으로 선을 표시했다.
이때 양변에 같은 수를 더하거나 빼는 계산에서는 부등호 방향이 그대로라는 점도 식 옆에 짧게 적었다. 학생은 “양변에 같은 수를 더했으니 관계는 바뀌지 않고, ≤가 남아 있으므로 경계값을 포함한다”고 풀이 이유를 말한 뒤 두 가지를 검산했다. 하나는 x=2를 넣어 참인지 확인하는 것이고, 다른 하나는 x=3을 넣어 거짓인지 확인하는 것이었다. 3-3≤5는 참처럼 보이므로 학생은 식을 다시 읽고, 실제 원식이 x-3≤-5였음을 발견했다. 이 장면에서 학생은 숫자를 대충 옮기지 않고, 문제에 적힌 우변을 다시 확인했다.
우변이 -5인 식으로 정확히 계산하면 다음과 같았다.
x-3≤-5
x≤-2
학생은 -2를 닫힌 점으로 표시하고 왼쪽을 칠했다. x=-2를 대입하면 -5≤-5로 참이고, x=-1은 -4≤-5가 거짓이므로 경계와 방향이 모두 맞는다고 설명했다.
식이 아닌 말과 그림으로 바꾸어 적용하기
다음 문제는 식을 바로 풀지 않고 문장과 수직선을 연결하는 형태였다. “어떤 수에서 4를 뺀 값이 1보다 작거나 같다”라는 문장을 학생은 먼저 x-4≤1로 옮겼다. 이번에는 우변의 1을 기준으로 생각하지 않고, 양변에 4를 더해 x≤5를 얻었다. 학생은 “5 자체도 조건을 만족하는지 먼저 본다”고 말하며 x=5를 대입했다. 5-4≤1은 1≤1이므로 참이었다. 수직선에는 5에 닫힌 점을 찍고 왼쪽을 표시했다.
표현을 더 바꾸어, 이미 그려진 수직선에서 5에 닫힌 점과 왼쪽 방향 화살표를 본 뒤 식을 고르는 활동도 진행했다. 학생은 처음에는 x<5라고 적으려 했지만, 점이 닫혀 있다는 표시를 다시 대조하고 x≤5로 수정했다. 이번에는 계산 결과를 그림에 맞추는 것이 아니라, 그림의 점 모양을 부등호의 포함 여부로 번역했다.
- 닫힌 점: 경계값을 포함하므로 ≤ 또는 ≥
- 열린 점: 경계값을 포함하지 않으므로 < 또는 >
- 양변에 같은 수를 더하거나 빼기: 부등호 방향은 그대로
도움 없이 다시 세운 판단
마지막 독립 문제는 x+6>2를 풀고 수직선으로 나타내는 것이었다. 학생은 별도의 질문을 기다리지 않고 “양변에서 6을 빼면 x>-4이고, 6을 빼는 것은 양변에 같은 수를 빼는 것이므로 부등호 방향은 유지된다”고 먼저 말했다.
x+6>2
x>-4
학생은 -4에 열린 점을 찍었다. 이어 경계값 -4를 원래 식에 넣으면 2>2가 거짓이므로 열린 점이어야 하고, -3을 넣으면 3>2가 참이므로 오른쪽을 칠한다고 설명했다. 숫자와 그림의 배열을 외워서 고른 것이 아니라, 양변에 같은 수를 뺀 뒤 부등호를 유지하고 경계값을 직접 검산해 점의 모양을 결정한 것이다. 처음에 ≤를 열린 점으로 바꾸었던 판단도 스스로 떠올리며 “부등호를 식에서 수직선으로 옮길 때 끝값 포함 여부를 먼저 확인해야 한다”고 풀이를 마무리했다.