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대전서구 고2수학과외

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단순합을 하기 전, 교집합부터 확인하기

학생은 풀이 기록에 “A∩B=∅인지 확인했으므로 P(A∪B)=P(A)+P(B)”라고 적었다. 그러나 다음 날 같은 유형을 다시 풀면서 배반이 아닌 사건에도 단순합을 적용한 흔적이 발견되었다. 대전서구과외 수업에서는 계산보다 먼저 두 사건이 동시에 일어날 수 있는지 확인하도록 지도했다.

오류가 생긴 문제

어떤 학급에서 학생을 한 명 뽑을 때, 사건 A를 ‘수학 동아리 회원’, 사건 B를 ‘축구 동아리 회원’이라고 하자.

  • P(A)=0.4
  • P(B)=0.35
  • P(A∩B)=0.1

이때 적어도 한 동아리에 속할 확률은

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

이므로

0.4+0.35-0.1=0.65

이다. 두 동아리에 모두 속한 학생이 있으므로 A와 B는 배반사건이 아니다. 따라서 0.4+0.35=0.75로 계산하면 교집합을 두 번 세게 된다.

배반사건과 일반적인 사건의 구분

교집합 조건을 별도 칸에 고정하기

사건 관계 조건 사용할 공식
배반사건 A∩B=∅ P(A∪B)=P(A)+P(B)
배반이 아닌 사건 P(A∩B)≠0일 수 있음 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

핵심은 ‘합집합이면 무조건 더한다’가 아니라, 겹치는 부분을 빼야 하는가를 판단하는 것이다.

서로 배반인 보기 찾기

주사위 한 개를 던지는 실험에서 다음 사건을 생각해 보자.

  • C: 짝수가 나온다
  • D: 1이 나온다

C와 D는 동시에 일어날 수 없으므로 C∩D=∅이다. 따라서

P(C∪D)=P(C)+P(D)=3/6+1/6=4/6=2/3

반면 E를 ‘3보다 큰 수가 나온다’라고 하면 C와 E는 4와 6에서 겹친다. 그러므로 E와 C에는 배반사건의 단순합을 사용할 수 없다.

다음 문제에서의 최종 검증

풀이 전후 비교

교정 전: P(A∪B)=0.4+0.35=0.75

교정 후: A∩B의 확률이 0.1이므로 중복을 제거한다.

P(A∪B)=0.4+0.35-0.1=0.65

마지막에는 다음 순서로 확인한다.

  1. A와 B가 동시에 가능한지 살핀다.
  2. 가능하면 교집합 확률을 뺀다.
  3. 동시에 불가능하면 두 확률만 더한다.
  4. 결과가 0 이상 1 이하인지 검산한다.

이 과정을 고정하면 ‘배반사건에서 단순합 사용’이라는 조건을 다른 문제에서도 정확히 적용할 수 있다.

대전서구 고2수학과외 학부모 후기

문제집과 프린트를 한쪽으로 치우려고 책상 위를 정리하던 중이었어요. 아이가 벡터 문제에서 손을 멈추더니 시작점과 끝점 좌표를 종이에 다시 적고 있더라고요. 이미 본 문제처럼 보였는데, 두 점의 위치를 확인하면서 성분을 하나씩 살펴보게 됐어요. 대전서구 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 눈에 띄었습니다. 예전에는 한 번 풀고 지나간 자료 중 무엇을 다시 볼지 스스로 고르는 일이 많지 않았거든요. 그런데 이번에는 좌표를 먼저 적은 다음 순서를 맞춰 성분 차이를 계산하고 있더라고요. 새로운 조건이 붙은 문제를 읽을 때도 같은 부분부터 확인했어요. 문제 전체에 이것저것 표시하기보다 시작점과 끝점만 적고, 그 차이로 벡터 성분을 구하는 과정만 남겨두더라고요. aatsaat

★★★★☆학부모 후기

시험이 끝난 다음 날 저녁, 다음 일정을 준비하다가 아이가 서술형 답안의 마지막 부분을 잠시 들여다보더라고요. 답을 통째로 지우는 대신 틀린 것처럼 보이는 중간 계산부터 지우고, 그 줄부터 다시 적어 놓은 흔적이 있었습니다. 예예전에는 공부를 마치면 어디를 다시 봐야 하는지 따로 남겨두지 않았거든요. 대전서구 수학과외 이야기를 나누던 때에도 저는 이런 장면이 가장 눈에 들어왔어요. 며칠 후 교재를 펼쳤을 때도 처음부터 새로 풀기보다 잘못 적힌 중간식을 먼저 찾아 고쳐 썼고, 끝난 뒤에는 그 부분에 다시 볼 표시를 해두었습니다. 서술형 답안 전체보다 계산이 어긋난 지점을 먼저 확인한 점이 전과 달랐어요.

★★★★★학부모 후기

대전서구에서 수학 과외를 시작한 뒤, 수행평가와 시험공부가 겹친 주간에도 선생님은 수업 준비 상태를 꼼꼼히 살펴주셨습니다. 수업 끝에는 그날 복습할 내용과 다음에 할 일을 나눠 정리해 주셔서, 아이가 오답을 따로 모아 보고 막힌 문제를 답지부터 찾기보다 먼저 질문하려는 모습이 눈에 띄었습니다.

★★★★★학부모 후기

대전서구에서 수학 과외를 시작한 뒤 아이가 문제를 풀고도 풀이를 설명하지 않으려는 모습이 조금씩 보였습니다. 선생님은 진도를 서두르기보다 그날 집중 상태를 살피며 기초 문제로 돌아가 실수한 이유를 함께 정리해 주셨고, 복습을 미룬 날에도 다음 날 다시 이어가는 습관이 생겼습니다.

★★★★★학부모 후기

처음에는 대전서구 과외 수업 전부터 긴장하고, 풀이가 조금만 길어져도 답을 못 찾겠다며 중간에 포기하곤 했습니다. 선생님은 틀린 답을 처음부터 다시 풀게 하기보다 어디서 생각이 어긋났는지 함께 찾아 주셨고, 시험 전날에는 그날 할 일과 다음에 볼 내용을 생활에 맞춰 나눠 주셨습니다. 요즘은 수업을 마친 뒤 배운 내용을 먼저 이야기하는 날도 생겨 부모로서 반가운 변화를 느끼고 있습니다.

★★★★☆학부모 후기