대전서구 고2수학과외







단순합을 하기 전, 교집합부터 확인하기
학생은 풀이 기록에 “A∩B=∅인지 확인했으므로 P(A∪B)=P(A)+P(B)”라고 적었다. 그러나 다음 날 같은 유형을 다시 풀면서 배반이 아닌 사건에도 단순합을 적용한 흔적이 발견되었다. 대전서구과외 수업에서는 계산보다 먼저 두 사건이 동시에 일어날 수 있는지 확인하도록 지도했다.
오류가 생긴 문제
어떤 학급에서 학생을 한 명 뽑을 때, 사건 A를 ‘수학 동아리 회원’, 사건 B를 ‘축구 동아리 회원’이라고 하자.
- P(A)=0.4
- P(B)=0.35
- P(A∩B)=0.1
이때 적어도 한 동아리에 속할 확률은
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
이므로
0.4+0.35-0.1=0.65
이다. 두 동아리에 모두 속한 학생이 있으므로 A와 B는 배반사건이 아니다. 따라서 0.4+0.35=0.75로 계산하면 교집합을 두 번 세게 된다.
배반사건과 일반적인 사건의 구분
교집합 조건을 별도 칸에 고정하기
| 사건 관계 | 조건 | 사용할 공식 |
|---|---|---|
| 배반사건 | A∩B=∅ | P(A∪B)=P(A)+P(B) |
| 배반이 아닌 사건 | P(A∩B)≠0일 수 있음 | P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) |
핵심은 ‘합집합이면 무조건 더한다’가 아니라, 겹치는 부분을 빼야 하는가를 판단하는 것이다.
서로 배반인 보기 찾기
주사위 한 개를 던지는 실험에서 다음 사건을 생각해 보자.
- C: 짝수가 나온다
- D: 1이 나온다
C와 D는 동시에 일어날 수 없으므로 C∩D=∅이다. 따라서
P(C∪D)=P(C)+P(D)=3/6+1/6=4/6=2/3
반면 E를 ‘3보다 큰 수가 나온다’라고 하면 C와 E는 4와 6에서 겹친다. 그러므로 E와 C에는 배반사건의 단순합을 사용할 수 없다.
다음 문제에서의 최종 검증
풀이 전후 비교
교정 전: P(A∪B)=0.4+0.35=0.75
교정 후: A∩B의 확률이 0.1이므로 중복을 제거한다.
P(A∪B)=0.4+0.35-0.1=0.65
마지막에는 다음 순서로 확인한다.
- A와 B가 동시에 가능한지 살핀다.
- 가능하면 교집합 확률을 뺀다.
- 동시에 불가능하면 두 확률만 더한다.
- 결과가 0 이상 1 이하인지 검산한다.
이 과정을 고정하면 ‘배반사건에서 단순합 사용’이라는 조건을 다른 문제에서도 정확히 적용할 수 있다.