대전서구 고등수학과외
대전서구 고등수학과외에서는 확률 문제를 계산 순서보다 사건의 관계를 읽는 연습부터 다룬다. 대전외국어고등학교와 충남고등학교를 준비하는 학생도 시험지에서 표현 형식이 바뀌면 같은 개념을 낯선 문제로 받아들이기 쉽다. 특히 조건이 여섯 개씩 이어지는 문제에서는 독립사건과 배반사건을 구분하지 못한 채 기호만 옮기는 실수가 자주 나타난다.
표현이 달라져도 먼저 확인할 사건의 관계
두 사건 A, B가 독립이면 한 사건이 일어났다는 사실이 다른 사건의 확률을 바꾸지 않는다. 따라서 P(A∩B)=P(A)P(B) 또는 P(A|B)=P(A)로 나타낼 수 있다. 반면 배반사건은 동시에 일어날 수 없는 관계이므로 A∩B=∅, P(A∩B)=0이 된다. 두 사건의 확률이 모두 0이 아니라면 배반사건은 독립일 수 없다.
학생은 ‘A와 B가 함께 일어나지 않는다’는 문장을 보고 곧바로 독립이라고 표시했다. 풀이 첫 줄에 P(A∩B)=0을 적어 놓고도, 뒤에서는 P(A∩B)=P(A)P(B)를 사용했다. 배반이라는 정보를 독립의 근거로 바꾸어 읽은 순간이었다. 여섯 조건 중 하나의 관계만 잘못 확정해도 나머지 식의 방향이 모두 흔들린다.
처음 틀린 한 줄만 되돌리기
전체 조건을 처음부터 다시 풀게 하지 않고, 해당 문장을 관계표로 옮겼다. ‘동시에 발생하지 않음’은 배반, ‘B가 일어나도 A의 발생 가능성이 변하지 않음’은 독립으로 따로 적었다. 이어 P(A)=0.4, P(B)=0.5라면 독립일 때 교집합은 0.2지만 배반일 때는 0이라는 점을 나란히 계산했다. 두 결과가 다르므로 같은 조건에서 두 관계를 함께 표시할 수 없다는 사실을 수치로 확인했다.
배반: P(A∩B)=0
독립: P(A∩B)=P(A)P(B)
그다음에는 조건 여섯 개 전체를 복사하지 않고, 독립사건에 관한 문장 하나와 그 배반사건 후보 하나만 남겼다. 학생은 원래 문제의 사분면 표시를 지운 뒤 A, B, A의 여사건, B의 여사건을 다시 배치했다. 이 과정에서 ‘A가 일어나지 않음’은 B와 배반이라는 뜻이 아니라 A의 여사건이라는 점도 함께 구분했다.
조건을 바꾼 새 문제에서 혼자 적용하기
새 문항에서는 주사위를 한 번 던져 짝수가 나오는 사건을 A, 3의 배수가 나오는 사건을 B로 정했다. A={2,4,6}, B={3,6}이므로 A∩B={6}이다. P(A)=1/2, P(B)=1/3, P(A∩B)=1/6이어서 P(A)P(B)와 같으므로 두 사건은 독립이다. 동시에 교집합이 공집합이 아니므로 배반은 아니다.
이번에는 A를 홀수가 나오는 사건, B를 짝수가 나오는 사건으로 바꾸었다. 교집합은 공집합이므로 배반이지만, P(A)P(B)=1/4이고 P(A∩B)=0이어서 독립 조건은 성립하지 않는다. 학생은 사분면에서 두 사건 영역이 겹치는지 먼저 표시한 뒤 확률식을 적었고, 앞선 문제의 결론을 그대로 옮기지 않았다.
벤다이어그램과 식으로 마지막 점검
최종 검증에서는 같은 답을 반복 계산하지 않았다. 독립인 두 사건은 벤다이어그램에서 교집합 영역이 남고, 그 넓이에 해당하는 확률이 두 확률의 곱으로 계산된다. 배반인 두 사건은 영역이 겹치지 않아 교집합 확률이 0이다. 또한 P(A|B)=P(A)인지 확인해 독립성을 다시 점검했다. 주사위의 첫 사례에서는 P(A|B)=1/2가 되어 P(A)와 같지만, 홀수와 짝수 사례에서는 P(A|B)=0이 되어 같지 않다.
자주 묻는 질문
- 배반사건이면 항상 독립인가요?
두 사건 중 하나의 확률이 0인 특수한 경우를 제외하면 그렇지 않다. - 독립이면 교집합이 없어지나요?
아니다. 독립은 교집합이 있을 수 있으며 그 확률이 두 확률의 곱이 된다. - 여사건은 배반사건인가요?
A와 A의 여사건은 동시에 일어날 수 없으므로 배반이다. 그러나 임의의 B와 A의 여사건이 자동으로 배반인 것은 아니다. - 문제를 풀 때 무엇을 먼저 표시하나요?
‘동시에 가능한가’를 벤다이어그램에 표시한 뒤, 독립 조건인 곱셈식이나 조건부확률식을 확인한다.