대덕구 고1수학과외







대덕구 고1수학과외, 선분의 외분에서 부호가 바뀐 순간
두 점 A(1, 2), B(7, 5)를 2:1로 외분하는 점을 구하던 학생은 내분 공식처럼 분모를 2+1로 두고 좌표를 계산했다. 답은 그럴듯했지만, 그래프에 표시하자 점이 A와 B 사이에 놓였다. 외분점은 선분 밖에 있어야 한다는 조건과 맞지 않았다.
공식보다 먼저 그래프에서 위치를 잡다
학생은 좌표평면에 A와 B를 찍고, 외분점이 어느 방향에 있어야 하는지 먼저 표시했다. 이후 외분 공식
AP:PB=m:n일 때 외분점의 좌표는 ((mB-nA)/(m-n))
을 적용했다. m=n이면 분모가 0이 되어 외분점이 정해지지 않으므로, 두 비가 같지 않은 경우에만 이 식을 사용할 수 있다는 점도 함께 확인했다.
이번 예에서는 m=2, n=1이므로
(2B-A)/(2-1) = (2(7,5)-(1,2))/1 = (13,8)
이다. 좌표 (13, 8)은 두 점이 놓인 선분의 바깥쪽에 있어 외분의 위치 조건과 일치했다.
비율을 거꾸로 읽는 문제로 바꿔 보기
다음에는 외분점 P(13, 8)와 A, B가 주어졌을 때 AP:PB를 구하도록 질문을 바꾸었다. 학생은 공식을 바로 대입하지 않고, P가 A에서 B의 반대 방향으로 더 멀리 있다는 점을 그래프에서 확인한 뒤 비율을 2:1로 복원했다.
- A에서 B로 가는 벡터는 (6, 3)이다.
- A에서 P로 가는 벡터는 (12, 6)으로, 앞 벡터의 2배이다.
- P는 B를 지나 같은 방향으로 계속 간 점이므로 AP:PB=2:1이다.
새 좌표에서 독립적으로 확인한 결과
처음 보지 못한 점 A(−2, 1), B(4, 4)를 3:2로 외분하는 문제에서는 계산 결과를 그래프에 의존하지 않고 매개변수로 점검했다. 외분점은
P=(3B-2A)/(3-2)=(18,12)-(-4,2)=(22,10)
이다. 또 P=A+3(B-A)로 나타나므로 A에서 B 방향으로 세 배 이동한 위치임을 확인했다. 따라서 P는 선분 AB 밖에 있고, PB는 B에서 같은 방향으로 한 배만큼 남으므로 AP:PB=3:2가 성립한다.
이 과정을 통해 학생은 외분 공식을 내분 공식의 변형으로 외우는 대신, 그래프의 위치와 좌표식의 부호가 함께 결정된다는 점을 스스로 복원했다.