대사동 중1수학과외
문자식의 항을 나누어 읽는 연습
대사동 생활권에는 대사 계룡아파트와 한밭도서관 인근 생활권처럼 서로 다른 학습 환경이 함께 있다. 이 지역에서 중1 수학 과외를 진행하며 확인한 한 학생의 풀이도 특별한 계산법보다 문자식에서 항의 경계와 종류를 정확히 확인하는 일에서 출발했다. 대사동과외 수업에서 다음 식을 제시했다.
3a - 2b + 5 - a + 4b를 간단히 하시오. 단, a=2, b=1이다.
학생은 식을 보자마자 숫자부터 대입했다. 공책에는 다음과 같이 적혀 있었다.
3×2 - 2×1 + 5 - 2 + 4×1
계산 결과는 9였지만, 식을 정리하는 과정에서는 항을 제대로 구분하지 않았다. 학생은 “3a와 -a는 문자식이고, -2b와 4b는 숫자처럼 먼저 계산해도 된다”고 말하며 항의 종류를 따로 표시하지 않았다.
답이 달라지기 시작한 지점
오류는 계산 결과를 낸 순간이 아니라, 식을 읽을 때 항 사이의 경계를 확인하지 않은 순간 생겼다. 특히 뺄셈 기호 뒤에 있는 2b를 양의 항처럼 받아들인 것이 문제였다. 문자식에서는 덧셈과 뺄셈 기호가 항을 나누며, 그 부호까지 항의 일부로 보아야 한다.
학생의 식 위에 선을 그어 항을 다음처럼 나누었다.
+3a | -2b | +5 | -a | +4b
그 뒤 문자 부분이 같은 항끼리만 표시했다. 3a와 -a는 모두 a를 포함하고, -2b와 4b는 모두 b를 포함한다. 숫자만 있는 5는 다른 항과 묶지 않는다. 따라서 학생은 먼저 식을 다음과 같이 정리했다.
3a - a = 2a
-2b + 4b = 2b
그러므로 원래 식은 2a + 2b + 5가 된다. 이때 이미 맞게 계산한 대입 과정은 버리지 않고, 정리된 식에 주어진 값을 넣었다.
2×2 + 2×1 + 5 = 4 + 2 + 5 = 11
학생은 원래 식에도 같은 값을 직접 넣어 결과를 비교했다.
3×2 - 2×1 + 5 - 2 + 4×1
= 6 - 2 + 5 - 2 + 4
= 11
두 결과가 같았으므로, 항을 정확히 나눈 뒤 정리한 식이 원식과 일치한다는 것을 확인할 수 있었다. 이 과정에서 핵심은 모든 항을 한꺼번에 계산한 것이 아니라, 부호를 포함해 하나씩 읽은 점이었다.
문장과 괄호로 바뀐 같은 개념
다음 문제에서는 식의 모양을 바꾸었다.
어떤 수 a의 세 배에서 b의 두 배를 뺀 뒤, 5를 더하고 a를 뺀 식에 b의 네 배를 더했다. 이를 문자식으로 나타내고, a=2, b=1일 때의 값을 구하시오.
학생은 문장을 읽으며 바로 계산하지 않고, 덧셈과 뺄셈이 이루어지는 순서를 식으로 옮겼다.
(3a - 2b + 5 - a) + 4b
괄호 안의 항을 먼저 세로로 적고, 괄호 밖의 4b도 별도의 항으로 표시했다. 식의 항 순서가 바뀌어도 항의 종류와 부호는 달라지지 않으므로, 학생은 다음처럼 정리했다.
3a - a - 2b + 4b + 5
= 2a + 2b + 5
“a가 있는 항은 계수만 합치고, b가 있는 항도 계수만 합치며, 숫자항은 그대로 둔다”는 근거를 한 줄로 덧붙였다. 이후 a=2, b=1을 대입해 11을 얻고, 괄호식에 같은 값을 넣어도 11이 되는지 확인했다.
힌트 없이 다시 세운 풀이
마지막 확인에서는 숫자와 식의 순서를 바꾼 새 문제를 제시했다.
4x + 7 - 3y - 2x + y를 정리한 뒤, x=1, y=2일 때의 값을 구하시오.
이번에는 학생이 먼저 각 항의 경계를 직접 표시했다.
+4x | +7 | -3y | -2x | +y
그리고 x항, y항, 숫자항을 나누어 적었다.
4x - 2x = 2x
-3y + y = -2y
숫자항은 7
따라서 정리한 식은 2x - 2y + 7이다. x=1, y=2를 넣으면 2 - 4 + 7 = 5가 된다. 학생은 원래 식에도 값을 대입해 4+7-6-2+2=5임을 확인했다.
이번에는 별도의 표시를 요구하지 않았지만, 학생 스스로 “뺄셈 뒤의 항은 음수 부호까지 함께 읽고, 같은 문자 부분끼리만 묶은 다음 원식에 다시 대입하겠다”고 설명했다. 대사동중1수학과외에서 확인한 이 장면은 단순히 답을 맞힌 결과가 아니라, 문자식의 항을 구분하고 부호와 문자 부분을 근거로 정리하는 풀이를 스스로 재현한 과정이었다.