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대사동 고2수학과외

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두 항의 비를 공비로 착각한 풀이

최종 검증은 역문제에서 시작한다. 어떤 학생이 공비 후보를 \(27\)로 정했다면, \(a_2=6\)에서 \(a_5=6\times27^3\)이 되어 조건과 맞지 않는다. 두 항 사이에는 한 번이 아니라 세 번의 공비가 곱해졌기 때문이다.

문제와 최초 오류

등비수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_2=6,\ a_5=162\)일 때 일반항을 구하여라.

잘못된 풀이는 다음과 같다.

\[ \frac{a_5}{a_2}=\frac{162}{6}=27 \]

따라서 공비가 \(27\)이라고 판단하고 \(a_n=6\cdot27^{n-2}\)라고 쓴 것이다. 하지만 \(a_2\)에서 \(a_5\)까지는 공비가 세 번 반복된다.

항 번호 차이로 교정하기

등비수열의 두 항은

\[ \frac{a_q}{a_p}=r^{q-p} \]

로 연결된다. 따라서

\[ \frac{a_5}{a_2}=r^{5-2}=r^3 \]

이므로

\[ r^3=\frac{162}{6}=27,\qquad r=3 \]

이다. \(a_2=a_1r=6\)이므로 \(a_1=2\)이고, 일반항은

\[ \boxed{a_n=2\cdot3^{n-1}} \]

이다.

조건을 바꾸어 확인하는 역문제

첫째항 조건으로 다시 세우기

이번에는 첫째항을 \(a_1=2\), 공비를 \(r=3\)으로 두면

\[ a_n=2\cdot3^{n-1} \]

이므로

\[ a_2=2\cdot3=6,\qquad a_5=2\cdot3^4=162 \]

가 된다. 원래 두 항의 조건을 모두 만족하므로 계산이 검증된다.

다른 조건에서의 판단

만약 \(a_2=6,\ a_5=-162\)라면

\[ r^3=-27 \]

이므로 공비는 \(r=-3\)이다. 두 항의 값 비만 보고 공비를 정하지 말고, 반드시 항 번호 차이를 지수로 반영해야 한다.

이런 오류를 줄이기 위해 대사동과외에서는 두 항 사이의 단계 수를 먼저 표시한 뒤 공비를 구하도록 풀이를 점검한다.

식은 읽히는데 그래프 설명이 어려울 때

고2에서 배우는 함수 문제를 식으로는 풀 수 있어도 그래프로 설명하기 어려울 수 있습니다. 계산을 늘리기 전에 식에 나타난 값 하나가 그래프의 어느 부분과 연결되는지 짚어 보세요. 서로 다른 표현을 연결하지 못한 지점을 남기면 다음 수업에서 확인할 내용이 구체적이 됩니다.

여러 경우를 나눈 뒤 빠진 경우를 확인하기

경우를 나누어 푸는 단원에서는 각 경우의 계산뿐 아니라 분류 기준도 적어 보세요. 같은 경우를 두 번 세거나 경계에 해당하는 경우를 빼지 않았는지 확인할 수 있습니다. 답을 합치기 전에 처음의 분류가 전체를 포함하는지 돌아보는 과정이 필요합니다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

고등 수학

현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.

고2 점검 기준

실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.

수업 진행 예시

선택 과목: 변화율의 의미

미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.

선택 과목: 확률의 조건

확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

고등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준
학교급방문 수업화상 수업
고등33~50만 원30~46만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

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대사동 고2수학과외 수업 후기

다른 유형의 독해 문제를 풀던 아이가 답만 고치지 않고, 원래 문제지 한쪽에 틀린 이유를 짧게 적어 두더라고요. 무엇을 다시 봐야 할지 표시가 남아 있어서 예전과는 달라 보였어요. 수학 수행평가를 준비하던 밤에도 비슷한 장면을 봤습니다. 틀린 문제를 유형별로 따로 옮겨 적는 대신 시험지 원본에 이유만 남겨 두고 있었습니다. 전에는 맞았는지 틀렸는지만 확인하고 지나갔거든요. 대사동 수학과외 이야기를 나누며 봤던 변화보다도, 이렇게 자기 시험지에서 다시 볼 곳을 바로 찾는 모습이 더 눈에 들어왔어요.

★★★★★수업 후기

모의고사 문제를 풀기 시작한 아이가 답을 바로 확인하지 않고, 계산 과정에서 처음 어긋난 식을 찾아 표시하더라고요. 그 부분만 눈에 띄게 남겨 두고 이어서 풀길래 잠깐 지켜봤어요. 전에는 헷갈린 문제를 따로 가려내기보다 자료 전체를 처음부터 반복해서 보는 편이었거든요. 잠들기 전 방에 들어가 불을 끄려는데, 책상 위 오답 문제에도 비슷한 흔적이 보였어요. 틀린 식을 전부 고쳐 쓰거나 문제 전체에 표시한 게 아니라, 처음 잘못 적은 식만 네모로 묶어 두었더라고요. 어디에서 다시 살펴봐야 하는지 자기 손으로 남겨 둔 셈이었어요. 대사동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 장면을 보게 될 줄은 몰랐는데, 새 문제를 펼친 뒤에도 같은 식으로 첫 오류부터 찾아 표시했습니다. 뒤의 계산을 한꺼번에 지우지 않고, 수정할 자리만 짚어 둔 모습이 인상에 남았어요.

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대사동에서 수학 과외를 시작했을 때만 해도 모르는 문제는 혼자 끙끙대다 답지를 먼저 보는 편이었어요. 그런데 선생님이 막힌 부분을 편하게 말할 수 있게 기다려 주시고, 늦은 날에는 숙제도 할 수 있는 만큼 나눠 주셔서 부담이 줄었습니다. 요즘은 과제가 밀려도 손을 놓지 않고 쉬운 것부터 해보게 됐어요.

★★★★★수업 후기

선생님은 밀린 숙제를 한꺼번에 재촉하지 않고 우선순위를 정해 다시 나누며, 아이가 준비한 질문을 충분히 들어 주셨습니다. 대사동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 모르는 문제를 만나도 예전처럼 정답부터 확인하려 하지 않고 풀이 중 막힌 부분을 먼저 표시해 둡니다. 수업 후에는 무엇을 복습해야 하는지 스스로 알고 책상에 앉는 모습이 보여 마음이 놓였습니다.

★★★★★수업 후기

처음에는 질문할 타이밍을 놓치고 맞힌 문제도 풀이를 다시 설명하라면 얼버무리곤 했습니다. 대사동에서 수업을 받으며 선생님이 오답 공책을 함께 펼쳐 보고, 학교 과제와 시험 일정에 맞춰 공부량을 조절해 주셔서 부담이 줄었습니다. 이제는 어려운 문제가 나와도 바로 피하지 않고 어디서 막혔는지 말해 보려 합니다.

★★★★★수업 후기

학생별 1:1 수업 안내

수업은 학생별 1:1로 진행하며, 현재 학습 상태와 목표에 따라 수업 내용을 달리합니다.